データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

k 進数で d 桁の n 個の整数に対する LSD 基数ソートの実行時間は何ですか？

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aはい。したがって下界は誤りである
  2. Bはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  3. Cいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
  4. Dいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
3.データ構造ふつう

V 個の頂点を持つグラフの隣接行列はどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.データ構造むずかしい

n 個の数からなるストリームから、O(k) のメモリで最小の k 個の値を保持しなければなりません。O(n log k) 時間で動作する方法はどれですか。

  1. An 個すべての値のソート済み配列
  2. Bn 個すべての値を保持する最小ヒープで、最後に小さい方から k 個を取り出す
  3. C最後の k 個の値の FIFO キュー
  4. Dサイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
62111518199371017ABCDEFG

プリム法は、頂点 D から始めて最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Dk = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 GB
  9. 9辺 GC
  10. 10辺 GD
  11. 11辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(d(n + k))

これが答えになる理由

d 回の各パスは O(n + k) のコストの計数ソートなので、d と k が固定なら全体は n について線形です。

答え

D · O(d(n + k))
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

C · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: C · O(V²)

これが答えになる理由

隣接行列は V × V 個の要素を格納し、密なグラフに効率的です。隣接リストは O(V + E) で、疎なグラフに適しています。

答え

C · O(V²)
4.データ構造

答え: D · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

これが答えになる理由

最大ヒープの根は保持している値の最大値です。それより小さい新しい値は O(log k) でそれと置き換わるので、ヒープは常にそれまでの最小の k 個を保持します。

答え

D · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

A, B, D, G → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: 辺 GE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. GD (10)
2. GB (3)
3. AB (6)
4. AC (2)
5. GE (17)
6. EF (9)

辺の番号 5

GE

答え

辺 GE

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