データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

  1. Aクイックソートを実行する前に入力をソートする
  2. Bピボットを一様ランダムに選ぶ
  3. C左側にのみ再帰を使う
  4. D常に先頭の要素を選ぶ
3.データ構造ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフについて、隣接リストはどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. Aそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
  2. Bブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  3. C削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
  4. Dブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 19 個の頂点と 20 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 19|E| = 20
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

D を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

配列の再帰的な総和のように、定数の作業量をもつ段階が n 個あります。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · ピボットを一様ランダムに選ぶ

これが答えになる理由

ランダムなピボットを使うと、すべての入力に対して期待実行時間は O(n log n) になります。悪いケースは依然として存在しますが、起こる確率は非常に低くなります。

答え

B · ピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造

答え: A · O(V + E)

これが答えになる理由

各頂点がリストをもち、各辺は 1 回（有向）または 2 回（無向）現れるので、O(V + E) になります。

答え

A · O(V + E)
4.データ構造

答え: A · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

A · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: k = 2

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

19 − 1 = 18

取り除く辺

k = 20 − 18 = 2

答え

k = 2
6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 0 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)DD = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 2

答え

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms