データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. A解くことが不可能である
  2. B停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
  3. CNP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  4. D多項式時間で解ける
3.データ構造ふつう

2 つのスタックでキューを実装します。「in」スタックに push し、「out」スタックから pop し、「out」が空になったら「in」から補充します。1 回の操作あたりのならしコストはどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. A使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  2. Bキーをテーブルに格納する必要があること
  3. Cキーの値を読み取る O(n) のコスト
  4. Dハッシュ関数が必要であること
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 16 個の頂点と 26 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 16|E| = 26
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

D を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

D · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

C · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: B · O(1)

これが答えになる理由

各要素は合計で高々 2 回ずつ push と pop されるので、1 回の補充に O(n) かかることがあっても、操作列全体の平均は O(1) です。

答え

B · O(1)
4.データ構造

答え: A · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

A · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: k = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

16 − 1 = 15

取り除く辺

k = 26 − 15 = 11

答え

k = 11
6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

答え

N = 2

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