データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

  1. A有向非巡回グラフ（DAG）
  2. B完全グラフ
  3. C負の重みを持つグラフ
  4. D無向グラフ
3.データ構造ふつう

無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。

  1. A常に上三角行列である
  2. B各行にちょうど 1 つの 1 がある
  3. C主対角線には常に 1 が入っている
  4. D主対角線に関して対称である
4.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

  1. AB+ 木は平衡を保つ必要がないから
  2. BB+ 木はデータを根にだけ格納するから
  3. CB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから
  4. Dすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
11413692151ABCDEF

プリム法は、頂点 E から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ek = 2
  1. 1辺 AC
  2. 2辺 BC
  3. 3辺 BD
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

A · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 有向非巡回グラフ（DAG）

これが答えになる理由

トポロジカル順序が存在するのは、有向グラフに閉路がない場合に限ります。DFS または Kahn のアルゴリズムで O(V + E) で求められます。

答え

A · 有向非巡回グラフ（DAG）
3.データ構造

答え: D · 主対角線に関して対称である

これが答えになる理由

無向グラフでは辺 {u, v} は M[u][v] と M[v][u] の両方が設定されることを意味するので、行列はその転置と等しくなります。

答え

D · 主対角線に関して対称である
4.データ構造

答え: D · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから

これが答えになる理由

B+ 木では内部ノードは探索を導くだけで、葉はキーの順に連結されているので、範囲クエリは最初のキーを見つけた後、葉に沿って進みます。

答え

D · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: 辺 BC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BE (1)
2. BC (4)
3. DE (9)
4. DF (2)
5. AC (11)

辺の番号 2

BC

答え

辺 BC

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