データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ある関数は n 回反復するループを 1 つ実行し、その後別に n 回反復するループをもう 1 つ実行します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + n log n の解は何ですか？

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.データ構造ふつう

固定のアルファベットをもつトライで、長さ L の単語を探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(L × n)
  2. B単語の数を n として O(log n)
  3. C単語の数を n として O(n)
  4. D格納されている単語の数に関係なく O(L)
4.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

  1. A40
  2. B70
  3. C60
  4. D80
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 8 個の頂点と 14 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 8|E| = 14
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

D から E への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

n + n = 2n で、定数倍は取り除かれるので、この関数は O(n) です。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n log² n)

これが答えになる理由

段階 k の作業量は約 n log(n / 2ᵏ) で、log n 個の段階にわたって合計すると Θ(n log² n) となります。これはマスター定理の第 2 の場合の拡張です。

答え

D · Θ(n log² n)
3.データ構造

答え: D · 格納されている単語の数に関係なく O(L)

これが答えになる理由

各文字が 1 つの子を選ぶので、トライにいくつの単語が含まれていても、検索は L ステップで済みます。

答え

D · 格納されている単語の数に関係なく O(L)
4.データ構造

答え: C · 60

これが答えになる理由

右部分木の最も左のノードは 60 なので、60 が 50 と置き換わり、元の位置からは取り除かれます。先行ノードを使えば 40 になります。

答え

C · 60
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

8 − 1 = 7

取り除く辺

k = 14 − 7 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

答え

N = 1

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