データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

  1. A重複する部分問題と最適部分構造
  2. Bループが一つだけ
  3. Cランダムな入力のみ
  4. D部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  2. Bインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
  3. C連結リストのノードでの比較は遅いから
  4. D連結リストはソートできないから
3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

  1. Ah2
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h + 1
  4. D2h
4.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

  1. A数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
  2. Bリストをソートして重複を探す
  3. C一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
  4. D訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 16 個の頂点と 18 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 16|E| = 18
k =
6.グラフ理論むずかしい
15119124157ABCDEF

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 重複する部分問題と最適部分構造

これが答えになる理由

重複する部分問題の結果を保存する（メモ化または表計算）ことで繰り返しの処理を避け、指数時間のアルゴリズムを多項式時間に変えられます。

答え

A · 重複する部分問題と最適部分構造
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

B · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: B · 2h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2h を合計すると 2h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

B · 2h+1 − 1
4.データ構造

答え: C · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる

これが答えになる理由

フロイドのアルゴリズムでは、閉路があれば速いポインタがいずれ遅いポインタに追いつきます。そうでなければ速いポインタは null に到達します。

答え

C · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: k = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

16 − 1 = 15

取り除く辺

k = 18 − 15 = 3

答え

k = 3
6.グラフ理論

答え: 辺 DE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. DF (1)
2. DE (4)
3. BE (7)
4. BC (9)
5. AC (11)

辺の番号 2

DE

答え

辺 DE

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