データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

未ソートの配列から k 番目に小さい要素を選択することについて、正しい記述はどれですか？

  1. A選択にはソートが必要なので、常に Ω(n log n) が必要である
  2. B選択は O(n²) でしか行えない
  3. Cクイックセレクトはピボットの片側だけで再帰するので、最悪でも O(log n) で動作する
  4. Dクイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

  1. Aインデックス 0
  2. Bインデックス 3
  3. Cインデックス 6
  4. Dインデックス 4
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A開始頂点を選ぶ
  2. B探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  3. C辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
  4. D辺を重みの順にソートする
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
1113810141114314ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

C · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する

これが答えになる理由

ランダムなピボットでは、クイックセレクトの期待作業量は n + n/2 + n/4 + ... = O(n) です。ピボットを中央値の中央値として選ぶと、最悪の場合も線形になります。

答え

D · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造

答え: D · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

D · インデックス 4
4.データ構造

答え: C · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

C · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: d(F) = 30

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 11
B (11): C: 24, D: 19, G: 25
D (19): E: 33, F: 30
C (24)
G (25)
F (30)
E (33)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 30

答え

d(F) = 30

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