データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A連結リストはソートできないから
  2. B連結リストのノードでの比較は遅いから
  3. C二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  4. Dインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造ふつう

衝突したキーを同じバケット内のリストに格納する衝突解決法はどれですか。

  1. A二次探査法（Quadratic probing）
  2. Bダブルハッシュ法（Double hashing）
  3. Cチェイン法（Separate chaining）
  4. D線形探査法（Linear probing）
4.データ構造むずかしい

セグメント木は一般的に何に使われますか。

  1. A区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
  2. Bグラフの辺を格納する
  3. Cスタックを実装する
  4. D各接頭辞を別々の木のノードに格納することで、文字列をアルファベット順にソートする
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 17 個の頂点と 24 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 17|E| = 24
k =
6.グラフ理論むずかしい
837111820126161513ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

マスター定理により nlog₂ 2 = n が定数の作業量より支配的なので、半分に分割して最大値を求める場合のように T(n) = Θ(n) です。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: C · チェイン法（Separate chaining）

これが答えになる理由

チェイン法はバケットごとに連結リスト（または別の構造）を持ち、オープンアドレス法はテーブル内で別の空きスロットを探します。

答え

C · チェイン法（Separate chaining）
4.データ構造

答え: A · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する

これが答えになる理由

セグメント木は区間ごとの集約値を格納し、区間クエリと一点更新を O(log n) 時間で行えます。

答え

A · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
5.グラフ理論

答え: k = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

17 − 1 = 16

取り除く辺

k = 24 − 16 = 8

答え

k = 8
6.グラフ理論

答え: W = 52

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (3): 取る
GB (6): 取る
BC (7): 取る
AB (8): 飛ばす（閉路ができる）
BD (11): 取る
EF (12): 取る
GE (13): 取る

重みの合計

W = 3 + 6 + 7 + 11 + 12 + 13 = 52

答え

W = 52

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