データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

重みなしグラフでの幅優先探索（BFS）で求められるものはどれですか？

  1. Aすべてのグラフにおけるトポロジカル順序
  2. B負の辺の重みを含むグラフでの最短経路
  3. C最小全域木
  4. D始点ノードからの辺の数で測った最短経路
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A決定不能である
  2. BNP 困難である
  3. C常に O(V + E) で解ける
  4. D重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
3.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

  1. Aインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
  2. Bインデックス i − 1
  3. Cインデックス 2i + 1
  4. Dインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
4.データ構造むずかしい

赤黒木が満たさなければならない性質はどれですか。

  1. Aすべての赤ノードの子は赤でなければならないので、赤ノードは葉まで途切れなく連なる
  2. Bあるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
  3. Cすべてのノードが赤でなければならない
  4. D根は赤でなければならない
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
138181251178ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 6 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路

これが答えになる理由

BFS は始点からの距離（辺の数）の順にノードを訪問するため、O(V + E) で重みなしの最短経路を求めます。

答え

D · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

B · NP 困難である
3.データ構造

答え: D · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

これが答えになる理由

i の子は 2i + 1 と 2i + 2 にあるので、i の親は ⌊(i − 1) / 2⌋ です。1 から始まるインデックスでは ⌊i / 2⌋ になります。

答え

D · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
4.データ構造

答え: B · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい

これが答えになる理由

赤黒木の規則：ノードは赤か黒、根は黒、赤ノードの子は黒、すべての経路の黒高さが等しい。これにより高さは ≤ 2 log₂(n + 1) に保たれます。

答え

B · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: C

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 21, D: 14, G: 20
3. D (14): E: 26, F: 19
4. F (19)
5. G (20)
6. C (21)
7. E (26)

ラウンド 6

C

答え

C

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