データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

  1. A約 1,000 回
  2. B約 500,000 回
  3. C約 20 回
  4. D約 100 回
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ある NP 完全問題に対する多項式時間アルゴリズムを誰かが見つけたら、何が導かれますか？

  1. A停止問題が決定可能になる
  2. BNP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
  3. Cすべての指数時間アルゴリズムがただちに線形時間で動くようになる
  4. Dその 1 つの問題だけが P に移る
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. Aすべての葉がちょうど同じ深さにある
  2. Bすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
  3. C左右の部分木の高さの差が高々 1 である
  4. Dすべてのノードが赤または黒に塗られている
4.データ構造むずかしい

隣接行列として格納された V 頂点のグラフに対する幅優先探索の実行時間はどれですか。

  1. AO(V + E)
  2. BO(V)
  3. CO(V²)
  4. DO(E log V)
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 16 個の頂点と 23 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 16|E| = 23
k =
6.グラフ理論むずかしい
1311013112112ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 約 20 回

これが答えになる理由

220 ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

C · 約 20 回
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · NP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる

これが答えになる理由

NP 全体がどの NP 完全問題にも多項式時間で帰着するので、1 つに対する高速なアルゴリズムはすべてに対する高速なアルゴリズムを与えます。

答え

B · NP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
3.データ構造

答え: C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: C · O(V²)

これが答えになる理由

V 個の頂点のそれぞれが V 個の要素の行を走査するので O(V²) になります。隣接リストを使えば BFS は O(V + E) です。

答え

C · O(V²)
5.グラフ理論

答え: k = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

16 − 1 = 15

取り除く辺

k = 23 − 15 = 8

答え

k = 8
6.グラフ理論

答え: d(F) = 4

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 13, C: 1
C (1): B: 11, E: 2
E (2): D: 14, F: 4
F (4)
B (11)
D (14)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 4

答え

d(F) = 4

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