データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1、3、4 の硬貨で金額 6 をつくるとき、貪欲な「最大の硬貨から」方式は最適解と比べて何枚の硬貨を使いますか？

  1. A貪欲法は 3 枚、最適解は 3 枚
  2. B貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
  3. C貪欲法は 2 枚、最適解は 2 枚
  4. D貪欲法は 4 枚、最適解は 3 枚
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  2. BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
  3. CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  4. DX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
3.データ構造ふつう

二分探索木で最小のキーはどのように見つけますか。

  1. A根だけを見る
  2. Bすべての葉を訪問して比べる
  3. C根から右の子がなくなるまで右の子をたどる
  4. D根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
4.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

  1. A一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
  2. B数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
  3. C訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
  4. Dリストをソートして重複を探す
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
5291451469ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚

これが答えになる理由

貪欲法は 4 + 1 + 1 = 3 枚を使いますが、3 + 3 なら 2 枚で済むので、この硬貨体系では貪欲法は最適ではありません。動的計画法なら最適です。

答え

B · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: D · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる

これが答えになる理由

最も左のノードより小さいキーは木の中にないので、それが最小値です。コストは高さに比例します。

答え

D · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
4.データ構造

答え: A · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる

これが答えになる理由

フロイドのアルゴリズムでは、閉路があれば速いポインタがいずれ遅いポインタに追いつきます。そうでなければ速いポインタは null に到達します。

答え

A · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

C, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 20

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 2
C (2): E: 16
B (5): E: 14
E (14): D: 19, F: 20
D (19)
F (20)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 20

答え

d(F) = 20

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