データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ソート済み配列で、両端から 1 つずつポインタを内側へ動かして、和が目標値になる 2 つの要素を探します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  2. Bインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
  3. C連結リストのノードでの比較は遅いから
  4. D連結リストはソートできないから
3.データ構造ふつう

あるアプリケーションには高速な検索が必要で、さらにキーをソート順に一覧にしたり、範囲クエリに答えたりする必要もあります。最も適した構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブル
  2. Bソートされていない連結リスト
  3. C平衡二分探索木
  4. Dスタック
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A開始頂点を選ぶ
  2. B探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  3. C辺を重みの順にソートする
  4. D辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
41316171215931061ABCDEFG

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 EF
  9. 9辺 GB
  10. 10辺 GD
  11. 11辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

和が小さすぎれば左のポインタを右へ、大きすぎれば右のポインタを左へ動かすので、ステップは高々 n 回です。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

B · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: C · 平衡二分探索木

これが答えになる理由

平衡 BST は O(log n) の検索を提供し、キーを順序づけて保つので、通りがけ順の走査や範囲クエリが容易です。ハッシュテーブルはキーをばらばらに配置します。

答え

C · 平衡二分探索木
4.データ構造

答え: D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. GE (1)
2. EF (3)
3. AB (4)
4. GD (6)
5. GB (10)
6. CE (12)

辺の番号 3

AB

答え

辺 AB

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