データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

辺の重みが非負のグラフで、一つの始点からの最短経路を求めるアルゴリズムはどれですか？

A深さ優先探索（DFS）
Bどの場合でも Bellman–Ford が必要
CKruskal 法
DDijkstra 法

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
DΘ(n² log n)

3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

Aインデックス 3
Bインデックス 0
Cインデックス 4
Dインデックス 6

4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

A平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
Bそのノードとその子の色を塗り替える
C子で左回転し、次にそのノードで右回転
D平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

B から E への長さ 2 の歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · Dijkstra 法

これが答えになる理由

Dijkstra 法は非負の重みで動作し、Bellman–Ford は負の重みを扱えます。Kruskal は最小全域木を構築します。

答え

D · Dijkstra 法

2.アルゴリズムと計算量

答え: C · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、n^{log₂ 7} が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n^2.81 になります。

答え

C · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造

答え: C · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

C · インデックス 4

4.データ構造

答え: D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

A, D, E, F → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)_BE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 = 2

答え

N = 2

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