データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) の解はどれですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V³)
3.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

  1. A最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
  2. B配列の最後の要素を取り除く
  3. C根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
  4. Dすべての葉から新しい最小値を探す
4.データ構造むずかしい

セグメント木は一般的に何に使われますか。

  1. Aスタックを実装する
  2. Bグラフの辺を格納する
  3. C区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
  4. D各接頭辞を別々の木のノードに格納することで、文字列をアルファベット順にソートする
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 4 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 4 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
3452012159ABCDE

プリム法は、頂点 D から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Dk = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n)

これが答えになる理由

マスター定理（master theorem）により（a = 2, b = 2, f(n) = n）、T(n) = Θ(n log n) です。

答え

B · O(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · O((V + E) log V)

これが答えになる理由

V 回の最小値取り出しと最大 E 回のキー減少操作があり、それぞれ O(log V) です。フィボナッチヒープを使うと O(E + V log V) に改善されます。

答え

C · O((V + E) log V)
3.データ構造

答え: A · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

これが答えになる理由

最後の要素が根の穴を埋め、ヒープ性が成り立つまでより小さい子と交換されます。これには O(log n) かかります。

答え

A · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
4.データ構造

答え: C · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する

これが答えになる理由

セグメント木は区間ごとの集約値を格納し、区間クエリと一点更新を O(log n) 時間で行えます。

答え

C · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
5.グラフ理論

答え: L = 22

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 42 = 2(L + 11) − 2
L = 22

答え

L = 22

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DE (15)
2. BE (9)
3. AB (3)
4. AC (4)

辺の番号 3

AB

答え

辺 AB

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