データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

単純な再帰の階乗関数 fact(n) = n × fact(n − 1) はどれだけのスタック領域を使いますか？

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

2²ⁿ は O(2ⁿ) に属しますか？

Aいいえ。2²ⁿ = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
Bはい。どちらも指数的だから
Cいいえ。2²ⁿ は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
Dはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから

3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

Afront と rear を同じ変数に格納する
Bバッファのサイズを 2 のべき乗にする
C要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
Dfront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする

5.グラフ理論ふつう

木に次数 3 の頂点が 4 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 3

L =

6.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 9

W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

どれかが戻る前に再帰は n 段の深さになり、各呼び出しにスタックフレームが必要なので、O(n) の領域を使います。

答え

D · O(n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: A · いいえ。2²ⁿ = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

これが答えになる理由

指数に定数を加えると定数倍になりますが、指数に定数を掛けると底と増加率が変わります。

答え

A · いいえ。2²ⁿ = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

3.データ構造

答え: A · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

A · 20

4.データ構造

答え: C · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

C · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

5.グラフ理論

答え: L = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 12 = 2(L + 4) − 2

L = 6

答え

L = 6

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 36

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AB (1): 取る

CE (6): 取る

BC (7): 取る

EF (10): 取る

AC (11): 飛ばす（閉路ができる）

DF (12): 取る

重みの合計

W = 1 + 6 + 7 + 10 + 12 = 36

答え

W = 36

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