データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(log n) のように、Big O で対数の底が通常省略されるのはなぜですか？

  1. A計算機科学のすべての対数は底が 10 なので、省略されているから
  2. B対数は常に整数に丸められるから
  3. C底の異なる対数は定数倍しか違わないから
  4. D底は n が小さいときにしか問題にならないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クック－レビンの定理は何を確立しましたか？

  1. A停止問題が決定不能であること
  2. Bブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
  3. CP が NP と等しくないこと
  4. Dすべての NP 問題が指数時間で解けること
3.データ構造ふつう

ある道路網には 100,000 の交差点があり、それぞれが約 4 つの他の交差点とつながっています。最も適した表現はどれですか。

  1. A隣接行列
  2. B辺の二分ヒープ
  3. C隣接リスト
  4. D頂点の 1 つのソート済み配列
4.データ構造むずかしい

二分探索木から 2 つの子を持つノードを削除するには、通常どうしますか。

  1. A根と入れ替える
  2. B部分木全体を削除する
  3. C中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
  4. Dその下の部分木を一から作り直し、含まれていたすべてのキーを挿入し直す
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
10375147711ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから

これが答えになる理由

底を変えると対数は定数倍されるだけで、Big O は定数倍を無視します。

答え

C · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること

これが答えになる理由

クックとレビンは独立に、NP のすべての問題が多項式時間で SAT に帰着することを示したので、SAT は最初に知られた NP 完全問題となりました。

答え

B · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造

答え: C · 隣接リスト

これが答えになる理由

行列では 1010 個のセルが必要になり、そのほとんどが空です。隣接リストなら約 400,000 個の辺の項目だけを格納すれば済みます。

答え

C · 隣接リスト
4.データ構造

答え: C · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する

これが答えになる理由

中間順の後続ノードは子を高々 1 つしか持たないため、そのキーを削除対象のノードにコピーした後、簡単に削除できます。

答え

C · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: d(F) = 22

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 10
C (10): B: 13, E: 15
B (13): D: 20
E (15): F: 22
D (20)
F (22)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 22

答え

d(F) = 22

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