データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

動的計画法で解く 0/1 ナップサック問題は O(nW) 時間かかります。これが擬多項式（pseudo-polynomial）と呼ばれるのはなぜですか？

  1. AW は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
  2. Bn が常に小さいから
  3. CW = 0 の場合にしか動作しないから
  4. Dアルゴリズムが乱択（randomised）で、実行時間が入力ごとに変わるから
3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

  1. A70
  2. B40
  3. C50
  4. D20
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A開始頂点を選ぶ
  2. B辺を重みの順にソートする
  3. C探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  4. D辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
8361591811ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

B · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから

これが答えになる理由

実行時間は W の値に対しては多項式ですが、その長さ（log W ビット）に対しては指数的です。0/1 ナップサック問題は NP 完全です。

答え

A · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
3.データ構造

答え: D · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

D · 20
4.データ構造

答え: D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: W = 33

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (3): 取る
BC (6): 取る
AB (8): 飛ばす（閉路ができる）
CE (9): 取る
BE (11): 飛ばす（閉路ができる）
BD (15): 取る

重みの合計

W = 3 + 6 + 9 + 15 = 33

答え

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms