データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

満杯になると容量を2倍にする動的配列に要素を追加する操作の償却（amortised）時間計算量は何ですか？

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

  1. A2ⁿ は n! より速く増加する
  2. Bn! は O(n²) である
  3. Cn! は 2ⁿ より速く増加する
  4. D同じ速さで増加する
3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

  1. Aソート済み配列
  2. B単方向連結リスト
  3. C双方向連結リスト
  4. D動的配列
4.データ構造むずかしい

二分探索木から 2 つの子を持つノードを削除するには、通常どうしますか。

  1. A根と入れ替える
  2. B中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
  3. Cその下の部分木を一から作り直し、含まれていたすべてのキーを挿入し直す
  4. D部分木全体を削除する
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 42 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
336831283ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(1)

これが答えになる理由

全要素のコピーは要素数が2のべき乗のときにしか起こらず、すべての追加操作に分散させると、1回あたりの平均コストは定数になります。

答え

A · O(1)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · n! は 2ⁿ より速く増加する

これが答えになる理由

n ≥ 4 では n! は 2ⁿ を超え、n! の追加の因数はそれぞれ 2 より大きいので、比は限りなく大きくなります。

答え

C · n! は 2ⁿ より速く増加する
3.データ構造

答え: C · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

C · 双方向連結リスト
4.データ構造

答え: B · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する

これが答えになる理由

中間順の後続ノードは子を高々 1 つしか持たないため、そのキーを削除対象のノードにコピーした後、簡単に削除できます。

答え

B · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
5.グラフ理論

答え: L = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 16 = 2(L + 5) − 2
L = 8

答え

L = 8

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 14

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 3
B (3): C: 6, D: 9, E: 6
C (6)
E (6): F: 14
D (9)
F (14)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 14

答え

d(F) = 14

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