データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

素朴な再帰によるフィボナッチ（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）の時間計算量はどれですか？

  1. A線形時間
  2. B指数時間
  3. C対数時間
  4. D定数時間
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(log n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(n log n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(1)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(n)
3.データ構造ふつう

n 要素の配列の中央に要素を挿入するコストはどれですか。

  1. A二分探索のため O(log n)
  2. Bインデックスがわかっているので O(1)
  3. C後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
  4. D各要素が n 回移動するので O(n²)
4.データ構造むずかしい

get と put が O(1) の LRU（least recently used）キャッシュを実現できるデータ構造はどれですか。

  1. A単一のソート済み配列
  2. B二分探索木のみ
  3. Cハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
  4. Dスタックのみ
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
7111071166ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 指数時間

これが答えになる理由

呼び出し木はおよそ φⁿ（約 1.618ⁿ）のように増加します。メモ化によって O(n) に減らせます。

答え

B · 指数時間
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

C · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: C · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)

これが答えになる理由

挿入位置より後のすべての要素が 1 つ右に移動するので、n に比例する時間がかかります。

答え

C · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造

答え: C · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ

これが答えになる理由

ハッシュマップでノードを O(1) で見つけ、双方向連結リストでアクセスした要素を先頭へ移動し、末尾から追い出す処理を O(1) で行います。

答え

C · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: d(F) = 16

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 7
C (7): B: 18, E: 14
E (14): D: 15, F: 20
D (15): F: 16
F (16)
B (18)

最短経路

A → C → E → D → F
d(F) = 16

答え

d(F) = 16

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