データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

多くのライブラリのソート関数が、非常に小さな部分配列では挿入ソートに切り替えるのはなぜですか？

  1. A大きな入力では、挿入ソートは他のどのソートアルゴリズムよりメモリが少なくて済むから
  2. B挿入ソートは最悪の場合 O(n log n) だから
  3. C挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
  4. D再帰アルゴリズムは 10 要素未満の配列を扱えないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス P の定義として正しいものはどれですか？

  1. A決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
  2. B並列に解くことができる問題
  3. C解を多項式時間で検証できるが、見つけることは決してできない問題
  4. Dどのコンピュータでも指数時間を必要とする問題
3.データ構造ふつう

後置記法の式 3 4 + 2 * の値は何ですか。

  1. A11
  2. B14
  3. C10
  4. D24
4.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

  1. A分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
  2. Bどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
  3. C再平衡化が不要だから
  4. Dデータをソートせずに格納するから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 12
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
123146510178ABCDEF

プリム法は、頂点 C から始めて最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ck = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

これが答えになる理由

n が小さいときは、O(n²) であっても、挿入ソートの単純なループの方がクイックソートやマージソートの再帰のオーバーヘッドより速くなります。

答え

C · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題

これが答えになる理由

P には、グラフが連結かどうかの判定のように、決定性の多項式時間アルゴリズムをもつ決定問題が含まれます。

答え

A · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
3.データ構造

答え: B · 14

これが答えになる理由

3 と 4 を push し、+ で 7。2 を push し、* で 7 × 2 = 14 になります。

答え

B · 14
4.データ構造

答え: A · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

これが答えになる理由

B 木は 1 つのノードに多くのキーを格納するため高さが小さく、1 回の検索に必要なブロック読み込みが少なくて済みます。B+ 木はさらに範囲走査のために葉同士をつなぎます。

答え

A · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 BD

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AC (3)
2. CE (5)
3. BE (8)
4. BD (6)
5. EF (17)

辺の番号 4

BD

答え

辺 BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms