データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

クイックソートの最悪時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

一部の辺の重みが負のとき、ダイクストラ法が誤った結果を出すことがあるのはなぜですか？

  1. A無向グラフでしか動作しないから
  2. B負の辺があるたびに無限ループに陥るから
  3. C負の数は優先度付きキューに格納できないから
  4. D頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから
3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

  1. A70
  2. B20
  3. C40
  4. D50
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
  2. Bそのノードとその子の色を塗り替える
  3. C平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
  4. D子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
31011110914967ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から E までの最短経路の長さd(E)を求めてください。

始点：A終点：E
d(E) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n²)

これが答えになる理由

ピボットの選択が常に悪い場合（例：すでにソート済みの入力で先頭要素をピボットにする）、分割が偏り O(n²) になります。平均の場合は O(n log n) です。

答え

C · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから

これが答えになる理由

貪欲なステップは、取り出した距離が確定するように重みが非負であることに依存しています。重みが負になりうる場合はベルマン－フォード法を使います。

答え

D · 頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから
3.データ構造

答え: B · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

B · 20
4.データ構造

答え: A · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

A · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

A, B → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(E) = 4

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 3
C (3): B: 13, E: 4, G: 12
E (4): D: 14, F: 13, G: 11
G (11)
B (13)
F (13)
D (14)

最短経路

A → C → E
d(E) = 4

答え

d(E) = 4

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