デジタル電子回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記数法

位取り
2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
10 進数へ
Σ dk·bk
10 進数から
基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数
16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数
ビットを反転して 1 を足す

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ
k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
フリップフロップ
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ
n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
リップルカウンタ
fmax = 1/(n·tpd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ
n 状態と 2n 状態

解き方

  1. 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
  2. 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
  3. 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
  4. フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

2演習問題

1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数0−12806403201608040201

8 ビットの 2 の補数で −116 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −1168 bit
U =
2.記数法むずかしい
ビットをクリックして設定します012806403201608040201

ビットを 1010 1011 AND 0110 0101 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1010 1011AND0110 0101
R =
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
MUX0I0​CI1​CI2​0I3​ABS1​S0​F

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = 0、I₁ = C、I₂ = C、I₃ = 0 につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = 0I₁ = CI₂ = CI₃ = 0
N =
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
ABCD0001111000011110001103120415070601211311501418X9X11010

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 8, 13, 15) + d(9, 11) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 8, 13, 15) + d(9, 11)
N =
5.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = 82.5 V2ᴺ − 101 LSB0.544 V?

入力範囲 0〜2.5 V の 8 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 0.544 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。

N = 8VFSR = 2.5 VVin = 0.544 V
D =
6.データ収録とサンプリングむずかしい
f0fs​/2fs​2fs​3 kHz7f₁?

3 kHz の方形波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 10 kHz でサンプリングします。方形波には奇数次の高調波 3f₁、5f₁、7f₁、… が含まれます。サンプリングされたデータでは、高調波 7f₁ はどの周波数 fa に現れますか。kHz で答えなさい。

f₁ = 3 kHzfs = 10 kHz高調波: 7f₁
fa = kHz

3溶液

1.記数法

答え: U = 140

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

116 = 0111 0100
反転後: 1000 1011
+1 → 1000 1100

符号なしとして読む

1000 1100₂ = 256 − 116 = 140

答え

U = 140
2.記数法

答え: R = 33

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

AND は、両方のビットが 1 のところだけ 1 になります。

1010 1011
AND 0110 0101
= 0010 0001

結果の値

0010 0001₂ = 33

答え

R = 33
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = A′BC + AB′C

F = 1 の行

ABC = 011, 101
N = 2

答え

N = 2
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

C′D, AD, AB′C′, A′B′CD′
ABCD0001111000011110001103120415070601211311501418X9X11010

最小被覆

F = C′D + AD + AB′C′ + A′B′CD′
N = 4

答え

N = 4
5.データ収録とサンプリング

答え: D = 55

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 2.5/28 = 9.766 mV

コード

Vin/LSB = 544/9.766 = 55.71
コード = ⌊55.71⌋ = 55

答え

D = 55

2 進数では 00110111 です。

6.データ収録とサンプリング

答え: fa = 1 kHz

サンプリング：ADC は信号を毎秒 fs 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < fs/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、fa = |f − k·fs| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から fs/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、fs/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。

高調波の周波数

7f₁ = 7·3 kHz = 21 kHz

サンプリング周波数の最も近い整数倍

m = round(2.1) = 2

エイリアス周波数

fa = |21 − 2·10| = 1 kHz

答え

fa = 1 kHz

エイリアスは信号帯域の内側に落ち、どんなデジタルフィルタでも除去できません。ADC の前に置くアナログフィルタだけが有効です。

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics