デジタル電子回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り
2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
10 進数へ
Σ dk·bk
10 進数から
基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数
16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数
ビットを反転して 1 を足す

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ
k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
フリップフロップ
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ
n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
リップルカウンタ
fmax = 1/(n·tpd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ
n 状態と 2n 状態

解き方

  1. 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
  2. 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
  3. 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
  4. フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

2演習問題

1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数0−12806403201608040201

8 ビットの 2 の補数で −118 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −1188 bit
U =
2.記数法むずかしい
8 bit1 px1024 px768 pxM = ? KiB

非圧縮の画像が 1024 × 768 ピクセル、1 ピクセルあたり 8 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

1024 × 768 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
ABC000111100101324576

F = AC + B′C′ + AC′ を最小の積和形に簡単化してください。簡単化した式に含まれるリテラル L はいくつですか？

F = AC + B′C′ + AC′
L =
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
CLKD12345678

正エッジトリガの D フリップフロップが Q = 0 から始まり、8 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0D
N =
5.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = 1010 V2ᴺ − 101 LSB6.633 V?

入力範囲 0〜10 V の 10 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 6.633 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。

N = 10VFSR = 10 VVin = 6.633 V
D =
6.データ収録とサンプリングむずかしい
T10 mV/°C×10∿01N = 12, 2.5 V? °C/LSB

温度センサが 10 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 10 倍に増幅し、入力範囲 0〜2.5 V の 12 ビット ADC に入力します（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔTLSB を求めなさい。

S = 10 mV/°CG = 10N = 12VFSR = 2.5 V
ΔTLSB = °C

3溶液

1.記数法

答え: U = 138

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

118 = 0111 0110
反転後: 1000 1001
+1 → 1000 1010

符号なしとして読む

1000 1010₂ = 256 − 118 = 138

答え

U = 138
2.記数法

答え: M = 768 KiB

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットとバイト

1024·768·8 = 6291456 bit = 786432 B

KiB に換算する

786432/1024 = 768 KiB

答え

M = 768 KiB
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 3

ブール代数：式を簡単にする規則は、X + X′ = 1 と X·X′ = 0、X + X = X、吸収則 X + X·Y = X、結合則 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y、そしてコンセンサス定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z です。ド・モルガンの法則は (X·Y)′ を X′ + Y′ に、(X + Y)′ を X′·Y′ に変えます。カルノー図はこれらの規則を図で適用するものです：隣り合う 2 つのセルのグループは、XY + XY′ = X を 1 回使うことに当たります。

式の最小項

AC → m(5, 7)
B′C′ → m(0, 4)
AC′ → m(4, 6)
ABC00011110011001030214151716

グループ化して読み取る

F = B′C′ + A

リテラルを数える

L = 3

答え

L = 3
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は fclk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

D フリップフロップは、立ち上がりエッジごとに D をコピーします：Q⁺ = D。

1: D = 0 → Q = 0
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 1 → Q = 1
6: D = 1 → Q = 1
7: D = 0 → Q = 0
8: D = 0 → Q = 0

変化を数える

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0 → 0
N = 2

答え

N = 2
5.データ収録とサンプリング

答え: D = 679

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 10/210 = 9.766 mV

コード

Vin/LSB = 6633/9.766 = 679.2
コード = ⌊679.2⌋ = 679

答え

D = 679

2 進数では 1010100111 です。

6.データ収録とサンプリング

答え: ΔTLSB = 0.006104 °C

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 2500/4096 = 0.6104 mV

ADC での感度

10·10 = 100 mV/°C

温度分解能

ΔTLSB = 0.6104/100 = 0.006104 °C

答え

ΔTLSB = 0.006104 °C

ADC は 25 °C でフルスケールに達します。

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