記数法
- 位取り
- 2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
- 10 進数へ
- Σ dk·bk
- 10 進数から
- 基数で割り、余りを下から上へ読む
- 16 進数 ↔ 2 進数
- 16 進数 1 桁 = 4 ビット
- 2 の補数
- ビットを反転して 1 を足す
デジタル電子回路：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
- 基本ゲート
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- ブールの規則
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- ド・モルガンの法則
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- カルノー図の並び順
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ 個のセルのグループ
- k 個の変数が消える
- 4 対 1 マルチプレクサ
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- フリップフロップ
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- カウンタ
- n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
- リップルカウンタ
- fmax = 1/(n·tpd)
- リングカウンタとジョンソンカウンタ
- n 状態と 2n 状態
解き方
- 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
- 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
- 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
- フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
2演習問題
1.記数法ふつう
8 ビットのパターン 1010 0100 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？
1010 01008 bit
N =
2.記数法むずかしい
ビットを 0101 0100 OR 1100 0000 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？
0101 0100OR1100 0000
R =
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 13) の最小の和積形（POS）を求めてください。和項（因数）N はいくつありますか？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 13)
N =
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
4 ビットのシフトレジスタ Q₃Q₂Q₁Q₀ が 1111 を保持しています。クロックエッジごとにビットは 1 つ右へシフトし（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀、Q₀ は失われる）、シリアル入力が Q₃ に入ります。シリアル入力は 6 エッジで 0, 1, 0, 0, 0, 1 です。最終状態 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ を 10 進数で答えてください。
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11110, 1, 0, 0, 0, 1
Q =
5.データ収録とサンプリングふつう
センサが 圧力 を 250 kPa の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.1 kPa を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。
範囲 = 250 kPa分解能 = 0.1 kPa
N =
6.データ収録とサンプリングむずかしい
オーディオの測定で、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比が少なくとも 65 dB 必要です。ADC の最小ビット数 N を求めなさい。
SQNR ≥ 65 dB
N =
3溶液
1.記数法
答え: N = −92
位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。
重みを合計する
ほかのビットは通常の正の重みのままです。
−128 + 32 + 4 = −92
答え
N = −92
2.記数法
答え: R = 212
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
ビットごとに
OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。
0101 0100
OR 1100 0000
= 1101 0100
結果の値
1101 0100₂ = 212
答え
R = 212
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: N = 6
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
0 をグループ化する
各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。
(B + C′ + D)
(A + B + D)
(A′ + B′ + D)
(A′ + B′ + C′)
(A + B′ + C + D′)
(A′ + B + C + D′)
最小の POS 形
F = (B + C′ + D)(A + B + D)(A′ + B′ + D)(A′ + B′ + C′)(A + B′ + C + D′)(A′ + B + C + D′)
N = 6
答え
N = 6
同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: Q = 8
フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は fclk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。
エッジごとの状態
1111 → 0111 → 1011 → 0101 → 0010 → 0001 → 1000
10 進値
1000₂ = 8
答え
Q = 8
5.データ収録とサンプリング
答え: N = 12
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
必要なステップ数
250/0.1 = 2500
ビット数
log₂(2500) = 11.29
211 = 2048 < 2500 ≤ 212 = 4096
N = 12
答え
N = 12
6.データ収録とサンプリング
答え: N = 11
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
N について解く
N ≥ (65 − 1.76)/6.02 = 10.5
切り上げる
N = 11
確認: 6.02·11 + 1.76 = 67.98 dB ≥ 65 dB
答え
N = 11
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