記数法
- 位取り
- 2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
- 10 進数へ
- Σ dk·bk
- 10 進数から
- 基数で割り、余りを下から上へ読む
- 16 進数 ↔ 2 進数
- 16 進数 1 桁 = 4 ビット
- 2 の補数
- ビットを反転して 1 を足す
デジタル電子回路：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
- 基本ゲート
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- ブールの規則
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- ド・モルガンの法則
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- カルノー図の並び順
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ 個のセルのグループ
- k 個の変数が消える
- 4 対 1 マルチプレクサ
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- フリップフロップ
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- カウンタ
- n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
- リップルカウンタ
- fmax = 1/(n·tpd)
- リングカウンタとジョンソンカウンタ
- n 状態と 2n 状態
解き方
- 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
- 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
- 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
- フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
2演習問題
1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数で −15 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？
N = −158 bit
U =
2.記数法むずかしい
32 ビットの 2 の補数で表せる最小（最も負の）整数 N はいくつですか？
32 bit
N =
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。
F = Σm(0, 2, 6, 7, 9, 10)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 9, 13) + d(2, 11) について、必須主項の個数 N を求めてください。
F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 9, 13) + d(2, 11)
N =
5.データ収録とサンプリングふつう
13 kHz の正弦波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 10 kHz でサンプリングします。サンプル中ではどの周波数 fa に現れますか。kHz で答えなさい。
f = 13 kHzfs = 10 kHz
fa = kHz
6.データ収録とサンプリングむずかしい
クロック 32 MHz のマイクロコントローラが、UART のボーレートを fclk/(16·D) に設定します。D は最も近い値に丸めた整数です。目標は 19200 baud です。実際のボーレートの誤差を百分率で求めなさい（速すぎる場合を正とします）。
fclk = 32 MHz目標値 = 19200 Bd
e = %
3溶液
1.記数法
答え: U = 241
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
反転して 1 を足す
15 = 0000 1111
反転後: 1111 0000
+1 → 1111 0001
符号なしとして読む
1111 0001₂ = 256 − 15 = 241
答え
U = 241
2.記数法
答え: N = −2.147 × 10⁹
位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。
最も負の値
−231 = −2147483648
答え
N = −2147483648
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: AB = 10, CD = 01
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
各 1 の隣
隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。
m9: m8, m11, m13, m1 → 0
孤立した 1
m9 = AB′C′D → AB = 10, CD = 01
答え
AB = 10, CD = 01
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: N = 1
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
主項
1 と X からつくれる最大のグループ。
C′D, AB′D
必須主項
C′D
N = 1
答え
N = 1
5.データ収録とサンプリング
答え: fa = 3 kHz
サンプリング：ADC は信号を毎秒 fs 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < fs/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、fa = |f − k·fs| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から fs/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、fs/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。
ナイキスト周波数
fs/2 = 5 kHz < f = 13 kHz
サンプリング周波数の最も近い整数倍
k = round(13/10) = 1
エイリアス周波数
fa = |13 − 1·10| = 3 kHz
答え
fa = 3 kHz
図の破線の曲線がエイリアスで、まったく同じサンプルを通る。
6.データ収録とサンプリング
答え: e = 0.1603 %
UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。
分周比
D = 32·10⁶/(16·19200) = 104.2 → 104
実際のボーレート
32·10⁶/(16·104) = 19231 Bd
誤差
(19231 − 19200)/19200·100 = 0.1603 %
答え
e = 0.1603 %
誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。
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