デジタル電子回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 0001 1011 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

0001 10118 bit

N =

2.記数法むずかしい

ビットを 1101 1111 OR 1000 0000 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1101 1111OR1000 0000

R =

3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

F = ABC + AC′ + B′C を最小の積和形に簡単化してください。簡単化した式に含まれるリテラル L はいくつですか？

F = ABC + AC′ + B′C

L =

4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 11, 13) + d(3, 6, 9) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 11, 13) + d(3, 6, 9)

N =

5.データ収録とサンプリングふつう

1.25 kHz の正弦波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 1 kHz でサンプリングします。サンプル中ではどの周波数 f_a に現れますか。Hz で答えなさい。

f = 1.25 kHzf_s = 1 kHz

f_a = Hz

6.データ収録とサンプリングむずかしい

温度センサが 10 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 20 倍に増幅し、入力範囲 0〜5 V の 8 ビット ADC に入力します（1 LSB = V_FSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔT_LSB を求めなさい。

S = 10 mV/°CG = 20N = 8V_FSR = 5 V

ΔT_LSB = °C

3溶液

1.記数法

答え: N = 27

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

16 + 8 + 2 + 1 = 27

答え

N = 27

2.記数法

答え: R = 223

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

1101 1111

OR 1000 0000

= 1101 1111

結果の値

1101 1111₂ = 223

答え

R = 223

3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 3

ブール代数：式を簡単にする規則は、X + X′ = 1 と X·X′ = 0、X + X = X、吸収則 X + X·Y = X、結合則 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y、そしてコンセンサス定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z です。ド・モルガンの法則は (X·Y)′ を X′ + Y′ に、(X + Y)′ を X′·Y′ に変えます。カルノー図はこれらの規則を図で適用するものです：隣り合う 2 つのセルのグループは、XY + XY′ = X を 1 回使うことに当たります。

式の最小項

ABC → m(7)

AC′ → m(4, 6)

B′C → m(1, 5)

グループ化して読み取る

F = B′C + A

リテラルを数える

L = 3

答え

L = 3

4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′CD, BC′D, A′D′, A′C, AC′D, A′B, AB′D

最小被覆

F = B′CD + BC′D + A′D′ + A′C

N = 4

答え

N = 4

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

5.データ収録とサンプリング

答え: f_a = 250 Hz

サンプリング：ADC は信号を毎秒 f_s 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < f_s/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、f_a = |f − k·f_s| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から f_s/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、f_s/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。

ナイキスト周波数

f_s/2 = 500 Hz < f = 1.25 kHz

サンプリング周波数の最も近い整数倍

k = round(1250/1000) = 1

エイリアス周波数

f_a = |1250 − 1·1000| = 250 Hz

答え

f_a = 250 Hz

図の破線の曲線がエイリアスで、まったく同じサンプルを通る。

6.データ収録とサンプリング

答え: ΔT_LSB = 0.09766 °C

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 5000/256 = 19.53 mV

ADC での感度

10·20 = 200 mV/°C

温度分解能

ΔT_LSB = 19.53/200 = 0.09766 °C

答え

ΔT_LSB = 0.09766 °C

ADC は 25 °C でフルスケールに達します。

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