デジタル電子回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −51 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −518 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 0111 1111 XOR 1110 1110 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0111 1111XOR1110 1110

R =

3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

4 ビットのジョンソンカウンタ Q₃Q₂Q₁Q₀ は 0000 から始まります。クロックエッジごとにビットは 1 つ右へシフトし（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀）、Q₃ には Q₀ の反転が入ります。7 クロックエッジのあとの状態 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ を 10 進数で答えてください。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00007

Q =

5.データ収録とサンプリングふつう

入力範囲 0〜3.3 V の 8 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊V_in/LSB⌋、1 LSB = V_FSR/2ᴺ です。入力 2.748 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。

N = 8V_FSR = 3.3 VV_in = 2.748 V

D =

6.データ収録とサンプリングむずかしい

6 チャネルのマルチプレクサが 1 つの ADC に接続されています。1 回の変換に 2.5 µs かかり、チャネルを切り替えるたびに入力の整定に 1 µs かかります。チャネルは休みなく順に走査されます。各チャネルのサンプリング周波数 f_s を kHz で求めなさい。

n = 6t_c = 2.5 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

3溶液

1.記数法

答え: U = 205

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

51 = 0011 0011

反転後: 1100 1100

+1 → 1100 1101

符号なしとして読む

1100 1101₂ = 256 − 51 = 205

答え

U = 205

2.記数法

答え: R = 145

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

0111 1111

XOR 1110 1110

= 1001 0001

結果の値

1001 0001₂ = 145

答え

R = 145

3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 01, CD = 00

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m4: m5, m6, m0, m12 → 0

孤立した 1

m4 = A′BC′D′ → AB = 01, CD = 00

答え

AB = 01, CD = 00

4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 1

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの状態

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001

10 進値

0001₂ = 1

答え

Q = 1

5.データ収録とサンプリング

答え: D = 213

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 3.3/2⁸ = 12.89 mV

コード

V_in/LSB = 2748/12.89 = 213.2

コード = ⌊213.2⌋ = 213

答え

D = 213

2 進数では 11010101 です。

6.データ収録とサンプリング

答え: f_s = 47.62 kHz

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 チャネルあたりの時間

2.5 + 1 = 3.5 µs

1 回の走査の時間

6·3.5 = 21 µs

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

f_s = 1/21 µs = 47.62 kHz

答え

f_s = 47.62 kHz

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