デジタル電子回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り
2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
10 進数へ
Σ dk·bk
10 進数から
基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数
16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数
ビットを反転して 1 を足す

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ
k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
フリップフロップ
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ
n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
リップルカウンタ
fmax = 1/(n·tpd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ
n 状態と 2n 状態

解き方

  1. 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
  2. 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
  3. 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
  4. フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

2演習問題

1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数?−128?64?32?16?8?4?2?1

−117 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −1178 bit
U =
2.記数法むずかしい
24 bit1 px800 px600 pxM = ? KiB

非圧縮の画像が 800 × 600 ピクセル、1 ピクセルあたり 24 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

800 × 600 px24 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
ABC00011110010001130214051706

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(3, 4, 7) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(3, 4, 7)
N =
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
CLKJK123456

正エッジトリガの JK フリップフロップが Q = 0 から始まり、図の入力を受け取ります。Q が 1 から 0 に戻る最初のクロックエッジをクリックしてください。

Q₀ = 0JK
  1. 1クロックエッジ 1
  2. 2クロックエッジ 2
  3. 3クロックエッジ 3
  4. 4クロックエッジ 4
  5. 5クロックエッジ 5
  6. 6クロックエッジ 6
5.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = ?250 °C2ᴺ − 10≤ 0.05 °C

センサが 温度 を 250 °C の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.05 °C を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。

範囲 = 250 °C分解能 = 0.05 °C
N =
6.データ収録とサンプリングむずかしい
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​4 MHz / (16·D)

クロック 4 MHz のマイクロコントローラが、UART のボーレートを fclk/(16·D) に設定します。D は最も近い値に丸めた整数です。目標は 9600 baud です。実際のボーレートの誤差を百分率で求めなさい（速すぎる場合を正とします）。

fclk = 4 MHz目標値 = 9600 Bd
e = %

3溶液

1.記数法

答え: U = 139

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

117 = 0111 0101
反転後: 1000 1010
+1 → 1000 1011

符号なしとして読む

1000 1011₂ = 256 − 117 = 139

答え

U = 139
2.記数法

答え: M = 1406 KiB

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットとバイト

800·600·24 = 11520000 bit = 1440000 B

KiB に換算する

1440000/1024 = 1406.25 KiB

答え

M = 1406.25 KiB
3.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

ABC00011110010001130214051706

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

BC
AB′C′

最小の SOP 形

F = BC + AB′C′
N = 2

答え

N = 2
4.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: クロックエッジ 6

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は fclk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

JK フリップフロップ：00 は保持、01 はリセット（Q = 0）、10 はセット（Q = 1）、11 はトグルです。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0
2: J = 0, K = 0 → Q = 0
3: J = 0, K = 1 → Q = 0
4: J = 0, K = 0 → Q = 0
5: J = 1, K = 1 → Q = 1
6: J = 1, K = 1 → Q = 0

1 から 0 への最初の変化

クロックエッジ 6

答え

クロックエッジ 6
5.データ収録とサンプリング

答え: N = 13

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

250/0.05 = 5000

ビット数

log₂(5000) = 12.29
212 = 4096 < 5000 ≤ 213 = 8192
N = 13

答え

N = 13
6.データ収録とサンプリング

答え: e = 0.1603 %

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

分周比

D = 4·10⁶/(16·9600) = 26.04 → 26

実際のボーレート

4·10⁶/(16·26) = 9615 Bd

誤差

(9615 − 9600)/9600·100 = 0.1603 %

答え

e = 0.1603 %

誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

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