工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (4x² + 6x − 9)/(3x² + 5x + 5) を求めなさい。

f(x) = (4x² + 6x − 9)/(3x² + 5x + 5)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(2x)（x はラジアン）とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3

x =

5.積分ふつう

I = ∫₂⁶ 5/x dx を計算しなさい。

f(x) = 5/x[2, 6]

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

7.複素数ふつう

図には z = −1 + j4 が示されています。w = 2∠−90° とするとき、z·w を表す点をクリックしてください。

z = −1 + j4w = 2∠−90°

1A (−2 + j8)
2B (−8 − j2)
3C (8 + j2)
4D (4 + j)

8.複素数むずかしい

(−2 + j)⁴ の実部を求めてください。

z = −2 + jn = 4

Re(z⁴) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 0 として y″ + 7y′ + 12y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(2) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 2y′ + 17y = 85 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [3 5 −3; −4 2 −4; −5 0 0]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 4x − 4y = −12、−3x − 4y = −11 を解きなさい。x を求めなさい。

4x − 4y = −12−3x − 4y = −11

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−7, 6, −5) の b = (−6, 6, −2) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (−7, 6, −5)b = (−6, 6, −2)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (−3, −5, 6) と b = (1, 2, 3) が作る平行四辺形の面積 A を求めよ。

a = (−3, −5, 6)b = (1, 2, 3)

A =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.05, 0.2

Var(X) =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 3X + 1 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.15, 0.3, 0.2Y = 3X + 1

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：31, 55, 15, 26, 38, 21, 30。

n = 7

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。195 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 20x = 195

z =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8888 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8888

z =

20.正規分布むずかしい

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 1.333

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(4 + 6/x + (−9)/x²)/(3 + 5/x + 5/x²)

x → ∞ とする

L = 4/3 = 1.333

答え

L = 1.333

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 2

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

x = 0 を代入する

L = 2/1 = 2

答え

L = 2

3.微分

答え: f′(2) = −3.371

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入する

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

答え

f′(2) = −3.371

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 3

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = 5.493

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = 5·ln x

上端と下端を代入する

I = 5·(ln 6 − ln 2) = 5·ln 3 = 5.493

答え

I = 5.493

6.積分

答え: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

7.複素数

答え: C (8 + j2)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

その点

z·w = 8 + j2 → C

答え

C (8 + j2)

8.複素数

答え: Re(z⁴) = −7

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−2 + j)(−2 + j) = 3 − j4

z³ = (3 − j4)(−2 + j) = −2 + j11

z⁴ = (−2 + j11)(−2 + j) = −7 − j24

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 2.236∠153.4° → z⁴ = 25∠−106.3°

Re(z⁴) = −7

答え

Re(z⁴) = −7

9.微分方程式

答え: y(2) = 0.02673

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

初期値から求める定数

A + B = 3, −3A − 4B = 0

A = 12, B = −9

計算する

y(2) = 12·e⁻⁶ + (−9)·e⁻⁸ = 0.02673

答え

y(2) = 0.02673

10.微分方程式

答え: y_max = 7.28

定常値と根

y_ss = 5, r = −1 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −1.25

ピーク

t = π/4 = 0.7854

y_max = 5·(1 + e^−1·π/4) = 7.28

答え

y_max = 7.28

11.行列と行列式

答え: det A = 70

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 0, M₁₂ = −20, M₁₃ = 10

余因子展開

det A = 3·0 − 5·(−20) + (−3)·10 = 70

答え

det A = 70

12.行列と行列式

答え: x = −0.1429

係数行列の行列式

det A = 4·(−4) − (−4)·(−3) = −28

x の列を置き換える

det Aₓ = (−12)·(−4) − (−4)·(−11) = 4

x = 4/(−28) = −0.1429

答え

x = −0.1429

y = 2.857

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = 10.09

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積

a·b = (−7)·(−6) + 6·6 + (−5)·(−2) = 88

b の長さ

|b| = √((−6)² + 6² + (−2)²) = 8.718

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = 88/8.718 = 10.09

答え

comp_b a = 10.09

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 30.9

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·3 − 6·2 = −27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·1 − (−3)·3 = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·2 − (−5)·1 = −1

面積

A = |a × b| = √((−27)² + 15² + (−1)²) = 30.9

答え

A = 30.9

15.確率

答え: Var(X) = 1.76

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 + 5·0.2 = 2.8

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 + 25·0.2 = 9.6

分散

Var(X) = 9.6 − 2.8² = 1.76

答え

Var(X) = 1.76

16.確率

答え: σ_Y = 6.913

X のばらつき

μ = 2.7, Var(X) = 5.31, σ_X = 2.304

一次変換

σ_Y = |3|·2.304 = 6.913

答え

σ_Y = 6.913

平均は変化します：E(Y) = 3·2.7 + 1 = 9.1。

17.記述統計

答え: s = 12.95

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 216/7 = 30.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.1429² + 24.14² + (−15.86)² + (−4.857)² + 7.143² + (−9.857)² + (−0.8571)² = 1007

標準偏差

s = √(1007/6) = 12.95

答え

s = 12.95

18.記述統計

答え: z = 1.25

標準化する

z = (195 − 170)/20 = 1.25

答え

z = 1.25

19.正規分布

答え: z = −1.22

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.8888 = 0.1112

z 表を逆に読む

表の中で 0.1112 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.22

答え

z = −1.22

20.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

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