工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x²·e^x とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 3 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 3

x =

5.積分ふつう

I = ∫₀^π/2 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 9 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 9 − x²

A =

7.複素数ふつう

図には z = 1 + j4 が示されています。w = 0.5∠−90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = 1 + j4w = 0.5∠−90°

1A (−4 + j)
2B (2 + j8)
3C (−8 + j2)
4D (8 − j2)

8.複素数むずかしい

n = 3、w = 8∠0° のとき、zⁿ = w の解は z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, 2 です。z₀ の実部を求めてください。

w = 8∠0°n = 3k = 0

Re(z₀) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 4、y′(0) = 6 として y″ + 6y′ + 5y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 4y′(0) = 6

y(1) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 25.25y = 50.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + y′ + 25.25y = 50.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [4 5 3; 0 1 −4; 0 5 5]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −2x + 5y = 10、−2x + 2y = −6 を解きなさい。x を求めなさい。

−2x + 5y = 10−2x + 2y = −6

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (1, −5, 6) の b = (−3, 4, 1) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (1, −5, 6)b = (−3, 4, 1)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

1 つの頂点から出る辺が a = (−5, 2, −3)、b = (1, −3, 3)、c = (1, 2, −2) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (−5, 2, −3)b = (1, −3, 3)c = (1, 2, −2)

V =

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.25

σ =

16.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.25k = 2

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：10, 26, 17, 52, 58, 24, 41。

n = 7

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。182 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 20x = 182

z =

19.正規分布ふつう

荷物を持つ乗客の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 12 個の合計質量が 1041 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1041 kg

P =

20.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 2.718

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 1·1 = 1

対数をもとに戻す

L = e¹ = 2.718

答え

L = 2.718

2.極限

答え: L = 2.25

1 回目の適用

3·sin 3x/(4x) → 0/0

2 回目の適用

9·cos 3x/4

x = 0 を代入する

L = 9/4 = 2.25

答え

L = 2.25

3.微分

答え: f′(2) = 59.11

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

代入する

f′(2) = 7.389·(4 + 4) = 59.11

答え

f′(2) = 59.11

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −3 または x = −1

どちらがどちらか

f″(x) = 6x + 12：極大では負、極小では正。

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = 0.5708

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

答え

I = 0.5708

6.積分

答え: A = 36

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

積分する

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答え

A = 36

7.複素数

答え: C (−8 + j2)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

その点

z/w = −8 + j2 → C

答え

C (−8 + j2)

8.複素数

答え: Re(z₀) = 2

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

8^1/3 = 2

解の偏角

θ₀ = (0° + 360°·0)/3 = 0°

直交形式

z₀ = 2·(cos 0° + j sin 0°) = 2

Re(z₀) = 2

答え

Re(z₀) = 2

3 個の解は、半径 2 の円周上に 120° ずつ離れて並びます。

9.微分方程式

答え: y(1) = 2.374

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

初期値から求める定数

A + B = 4, −1A − 5B = 6

A = 6.5, B = −2.5

計算する

y(1) = 6.5·e⁻¹ + (−2.5)·e⁻⁵ = 2.374

答え

y(1) = 2.374

10.微分方程式

答え: y_max = 3.461

定常値と根

y_ss = 2, r = −0.5 ± 5j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 5B = 0 → B = −0.2

ピーク

t = π/5 = 0.6283

y_max = 2·(1 + e^−0.5·π/5) = 3.461

答え

y_max = 3.461

11.行列と行列式

答え: det A = 100

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 25, M₁₂ = 0, M₁₃ = 0

余因子展開

det A = 4·25 − 5·0 + 3·0 = 100

答え

det A = 100

12.行列と行列式

答え: x = 8.333

係数行列の行列式

det A = (−2)·2 − 5·(−2) = 6

x の列を置き換える

det Aₓ = 10·2 − 5·(−6) = 50

x = 50/6 = 8.333

答え

x = 8.333

y = 5.333

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = −3.334

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = 1·(−3) + (−5)·4 + 6·1 = −17

b の長さ

|b| = √((−3)² + 4² + 1²) = 5.099

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = −17/5.099 = −3.334

答え

comp_b a = −3.334

負：a には b と逆向きの成分があります。

14.ベクトル：内積と外積

答え: V = 5

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−2) − 3·2 = 0

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·1 − 1·(−2) = 5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·2 − (−3)·1 = 5

a との内積

a·(b × c) = (−5)·0 + 2·5 + (−3)·5 = −5

V = |−5| = 5

答え

V = 5

15.確率

答え: σ = 1.162

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.5

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.6

分散

Var(X) = 3.6 − 1.5² = 1.35

σ = √1.35 = 1.162

答え

σ = 1.162

16.確率

答え: P = 0.3003

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 2) = 36·0.25²·0.75⁷ = 36·0.0625·0.1335 = 0.3003

答え

P = 0.3003

17.記述統計

答え: s = 18.09

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 228/7 = 32.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−22.57)² + (−6.571)² + (−15.57)² + 19.43² + 25.43² + (−8.571)² + 8.429² = 1964

標準偏差

s = √(1964/6) = 18.09

答え

s = 18.09

18.記述統計

答え: z = 0.6

標準化する

z = (182 − 170)/20 = 0.6

答え

z = 0.6

19.正規分布

答え: P = 0.3085

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

標準化する

z = (1041 − 1020)/41.57 = 0.5

確率

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

答え

P = 0.3085

20.正規分布

答え: P = 0.8413

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics