工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(4x² − 8x) − 2x) を求めなさい。

f(x) = √(4x² − 8x) − 2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 5) とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² − 5x − 5 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² − 5x − 5x = 3

b =

5.積分ふつう

y = 0.5x の下の x = 0 から x = 1 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 1

V =

6.積分むずかしい

I = ∫₀³ x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.複素数ふつう

z = 6∠35° を直交形式 a + jb で表し、虚部 b を答えてください。

r = 6θ = 35°

b =

8.複素数むずかしい

n = 5、w = 243∠135° のとき、zⁿ = w の解は z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, …, 4 です。z₁ の実部を求めてください。

w = 243∠135°n = 5k = 1

Re(z₁) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = -2 として y″ + 8y′ + 16y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(0.5) =

10.微分方程式むずかしい

y(0) = 2、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 2y′ + 5y = 0 を解きなさい。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−4 0 0; 4 0 2; 5 −5 −2]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [−2 2; −8 8]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−6, −3, 5) の b = (0, 3, 3) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (−6, −3, 5)b = (0, 3, 3)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (3, −1, −5) と b = (−3, 0, −3) が作る平行四辺形の面積 A を求めよ。

a = (3, −1, −5)b = (−3, 0, −3)

A =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35

Var(X) =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 5 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.25Y = 10X + 5

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 37, 50, 24, 34。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。450 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 25x = 450

P =

19.正規分布ふつう

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。76 から 118.75 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 118.75

P =

20.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 15% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

3溶液

1.極限

答え: L = −2

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = −8x/(√(4x² − 8x) + 2x)

x で割る

f(x) = −8/(√(4 + (−8)/x) + 2)

x → ∞ とする

L = −8/(2 + 2) = −2

答え

L = −2

2.極限

答え: L = 1.5

1 回目の適用

3·sin 3x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

9·cos 3x/6

x = 0 を代入する

L = 9/6 = 1.5

答え

L = 1.5

3.微分

答え: f′(2) = 0.4444

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 5)

代入する

f′(2) = 4/9 = 0.4444

答え

f′(2) = 0.4444

4.微分

答え: b = −32

接点と傾き

f(3) = 7

f′(x) = 6x − 5 → f′(3) = 13

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − 13·3 = −32

答え

b = −32

5.積分

答え: V = 0.2618

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀¹ 0.25x² dx

積分する

V = π·0.25·1³/3 = 0.2618

答え

V = 0.2618

確認：半径 0.5、高さ 1 の円錐は (1/3)πr²h = 0.2618 です。

6.積分

答え: I = 98.43

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答え

I = 98.43

7.複素数

答え: b = 3.441

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 6·cos(35°) = 4.915

b = 6·sin(35°) = 3.441

直交形式

z = 4.915 + j3.441

b = 3.441

答え

b = 3.441

8.複素数

答え: Re(z₁) = −0.4693

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

243^1/5 = 3

解の偏角

θ₁ = (135° + 360°·1)/5 = 99°

直交形式

z₁ = 3·(cos 99° + j sin 99°) = −0.4693 + j2.963

Re(z₁) = −0.4693

答え

Re(z₁) = −0.4693

5 個の解は、半径 3 の円周上に 72° ずつ離れて並びます。

9.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.083

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

定数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = -2 + 12 = 10

計算する

y(0.5) = (3 + 10·0.5)·e⁻² = 1.083

答え

y(0.5) = 1.083

10.微分方程式

答え: y(0.75) = 0.538

複素根

r = −1 ± 2j

定数

A = 2, B = 1·2/2 = 1

計算する

y(0.75) = e^−0.75(2·cos 1.5 + 1·sin 1.5) = 0.538

答え

y(0.75) = 0.538

11.行列と行列式

答え: det A = −40

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 10, M₁₂ = −18, M₁₃ = −20

余因子展開

det A = (−4)·10 − 0·(−18) + 0·(−20) = −40

答え

det A = −40

12.行列と行列式

答え: λ = 6

固有方程式

λ² − (6)λ + (0) = 0

解く

λ = (6 ± √(36))/2 → λ = 0, 6

λ = 6

答え

λ = 6

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = 1.414

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = (−6)·0 + (−3)·3 + 5·3 = 6

b の長さ

|b| = √(0² + 3² + 3²) = 4.243

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = 6/4.243 = 1.414

答え

comp_b a = 1.414

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 24.37

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−3) − (−5)·0 = 3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−3) − 3·(−3) = 24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·0 − (−1)·(−3) = −3

面積

A = |a × b| = √(3² + 24² + (−3)²) = 24.37

答え

A = 24.37

15.確率

答え: Var(X) = 4.91

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.2 + 2·0.1 + 4·0.35 + 6·0.35 = 3.7

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.1 + 16·0.35 + 36·0.35 = 18.6

分散

Var(X) = 18.6 − 3.7² = 4.91

答え

Var(X) = 4.91

16.確率

答え: σ_Y = 107.1

X のばらつき

μ = 25.5, Var(X) = 114.8, σ_X = 10.71

一次変換

σ_Y = |10|·10.71 = 107.1

答え

σ_Y = 107.1

平均は変化します：E(Y) = 10·25.5 + 5 = 260。

17.記述統計

答え: s = 13.29

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 160/5 = 32

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 5² + 18² + (−8)² + 2² = 706

標準偏差

s = √(706/4) = 13.29

答え

s = 13.29

18.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答え

P = 0.02275

19.正規分布

答え: P = 0.8396

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (76 − 100)/15 = −1.6

z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

間の面積

P = Φ(1.25) − Φ(−1.6) = 0.8944 − 0.0548 = 0.8396

答え

P = 0.8396

20.正規分布

答え: x = 244.8 g

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 250 − 1.04·5 = 244.8 g

答え

x = 244.8 g

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