工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (6x³ − 5x + 3)/(3x³ + 4x + 5) を求めなさい。

f(x) = (6x³ − 5x + 3)/(3x³ + 4x + 5)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x²·e^2x とします。f′(1.5) を求めなさい。

f(x) = x²·e^2xx = 1.5

f′(1.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = 0.5x² + 5x − 2 の x = 2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 0.5x² + 5x − 2x = 2

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ e^−0.5x dx を計算しなさい。

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

6.積分むずかしい

y = 0.5x² と y = 2x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 0.5x²y = 2x

A =

7.複素数ふつう

z = −6 − j3 の偏角 θ を、−180° から 180° の間の主値として、度で求めてください。

z = −6 − j3

θ = °

8.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z⁴ = 16∠−90° の解です。それをクリックしてください。

w = 16∠−90°n = 4

1A (1∠−22.5°)
2B (2∠−22.5°)
3C (2∠−90°)
4D (2∠22.5°)

9.微分方程式ふつう

y(0) = 5、y′(0) = 2 として y″ + 6y′ + 9y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(0.5) =

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 2x、y(1) = 5 を解きなさい。y(3) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 2xy(1) = 5

y(3) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−4 −3 −5; 3 0 4; −5 3 −3]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −2x − y = −8、6x − y = −9 を解きなさい。x を求めなさい。

−2x − y = −86x − y = −9

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

一定の力 F = (10, 5, 0) N が、点 A(4, 1, 2) から点 B(−2, 2, −2) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (10, 5, 0) NA(4, 1, 2) mB(−2, 2, −2) m

W = J

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (1, 3, 3) と b = (−5, −4, −4) が作る平行四辺形の面積 A を求めよ。

a = (1, 3, 3)b = (−5, −4, −4)

A =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.15, 0.35

Var(X) =

16.確率むずかしい

部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.6 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.6

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 59, 24, 28, 17。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。176.3 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 5x = 176.3

P =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8789 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8789

z =

20.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3溶液

1.極限

答え: L = 2

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(6 + (−5)/x² + 3/x³)/(3 + 4/x² + 5/x³)

x → ∞ とする

L = 6/3 = 2

答え

L = 2

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 3.125

1 回目の適用

5·sin 5x/(8x) → 0/0

2 回目の適用

25·cos 5x/8

x = 0 を代入する

L = 25/8 = 3.125

答え

L = 3.125

3.微分

答え: f′(1.5) = 150.6

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

代入する

f′(1.5) = 20.09·(3 + 4.5) = 150.6

答え

f′(1.5) = 150.6

4.微分

答え: b = −4

接点と傾き

f(2) = 10

f′(x) = x + 5 → f′(2) = 7

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 7·2 = −4

答え

b = −4

5.積分

答え: I = 0.7869

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

上端と下端を代入する

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

答え

I = 0.7869

6.積分

答え: A = 5.333

交点

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

上から下を引いて積分する

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

答え

A = 5.333

7.複素数

答え: θ = −153.4 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

象限

a = −6, b = −3 → III

基準角

α = atan(3/6) = 26.57°

偏角

θ = −(180° − α) = −153.4°

答え

θ = −153.4°

極形式では z = 6.708∠−153.4° です。

8.複素数

答え: B (2∠−22.5°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 2

θ = −22.5°, 67.5°, 157.5°, −112.5°

その点

B = 2∠−22.5°

答え

B (2∠−22.5°)

9.微分方程式

答え: y(0.5) = 3.012

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

定数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = 2 + 15 = 17

計算する

y(0.5) = (5 + 17·0.5)·e^−1.5 = 3.012

答え

y(0.5) = 3.012

10.微分方程式

答え: y(3) = 5

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 2x³ → x²y = 2x⁴/4 + C

初期条件

5 = 2/4 + C → C = 4.5

計算する

y(3) = (2·3⁴/4 + 4.5)/3² = 5

答え

y(3) = 5

11.行列と行列式

答え: det A = 36

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −12, M₁₂ = 11, M₁₃ = 9

余因子展開

det A = (−4)·(−12) − (−3)·11 + (−5)·9 = 36

答え

det A = 36

12.行列と行列式

答え: x = −0.125

係数行列の行列式

det A = (−2)·(−1) − (−1)·6 = 8

x の列を置き換える

det Aₓ = (−8)·(−1) − (−1)·(−9) = −1

x = −1/8 = −0.125

答え

x = −0.125

y = 8.25

13.ベクトル：内積と外積

答え: W = −55 J

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (−2, 2, −2) − (4, 1, 2) = (−6, 1, −4) m

仕事

W = F·d = 10·(−6) + 5·1 + 0·(−4) = −55 J

答え

W = −55 J

負の仕事：力はおもに運動に逆らって作用しています。

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 15.56

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−4) − 3·(−4) = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−5) − 1·(−4) = −11

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−4) − 3·(−5) = 11

面積

A = |a × b| = √(0² + (−11)² + 11²) = 15.56

答え

A = 15.56

15.確率

答え: Var(X) = 1.44

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.25 + 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.35 = 1.6

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.35 = 4

分散

Var(X) = 4 − 1.6² = 1.44

答え

Var(X) = 1.44

16.確率

答え: P = 0.000734

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.4¹¹ = 4.194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0.6·0.4¹⁰ = 0.0006921

足し合わせる

P = 4.194 × 10⁻⁵ + 0.0006921 = 0.000734

答え

P = 0.000734

17.記述統計

答え: s = 19.09

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 183/5 = 36.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 18.4² + 22.4² + (−12.6)² + (−8.6)² + (−19.6)² = 1457

標準偏差

s = √(1457/4) = 19.09

答え

s = 19.09

18.記述統計

答え: P = 0.8944

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答え

P = 0.8944

19.正規分布

答え: z = 1.55

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.8789)/2 = 0.9394

z 表を逆に読む

表の中で 0.9394 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.55

答え

z = 1.55

20.正規分布

答え: x = 187 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答え

x = 186.97 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics