工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (3x + 5)⁴ とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = (3x + 5)⁴x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4

x =

5.積分ふつう

y = √(2x) の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2

V =

6.積分むずかしい

y = 2x² と y = 2x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x²y = 2x

A =

7.複素数ふつう

数 z = 3·e^−j1 の角度はラジアンで表されています。その実部 a を求めてください。

r = 3θ = −1 rad

a =

8.複素数むずかしい

方程式 z² − 5z + 10.25 = 0 には 2 つの複素数の解があります。その絶対値 |z| を求めてください。

p = −5q = 10.25

|z| =

9.微分方程式ふつう

300 °C の鍛造鋼部品を 23 °C の作業場に置いて冷まします。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.03 min⁻¹ として、51 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 300 °CT_a = 23 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 51 min

T = °C

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + y/x = 6、y(1) = 2 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y′ + y/x = 6y(1) = 2

y(2) =

11.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₁₁（第 1 行、第 1 列）を求めなさい。

A = [3 0; −4 4]B = [−5 4; −5 6]

c₁₁ =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [2 3; 2 −3]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (−1, 4, 6) と b = (0, 6, −5) のなす角 θ を度で求めよ。

a = (−1, 4, 6)b = (0, 6, −5)

θ = °

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

単位ベクトル n̂ は、a = (3, −4, 2) と b = (4, 1, 2) の両方に垂直で、z 成分が正である。その x 成分 n̂_x を求めよ。

a = (3, −4, 2)b = (4, 1, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25

σ =

16.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 10p = 0.25k = 4

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：60, 47, 43, 43, 59, 52。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。210 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 210

P =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.3899 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.3899

z =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.1353

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·(−1) = −2

対数をもとに戻す

L = e⁻² = 0.1353

答え

L = 0.1353

2.極限

答え: L = 0.4

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

x = 0 を代入する

L = 2/5 = 0.4

答え

L = 0.4

3.微分

答え: f′(2) = 15972

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 4·(3x + 5)³·3

代入する

f′(2) = 4·11³·3 = 15972

答え

f′(2) = 15972

4.微分

答え: x = 3

導関数

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 3

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

答え

x = 3

5.積分

答え: V = 12.57

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 2x dx

積分する

V = π·2·2²/2 = 12.57

答え

V = 12.57

6.積分

答え: A = 0.3333

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

2x² = 2x → x = 0, x = 1

上から下を引いて積分する

A = [x² − 0.6667x³]₀¹ = 0.3333

答え

A = 0.3333

7.複素数

答え: a = 1.621

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

オイラーの公式

z = 3·(cos −1 + j sin −1)

成分（ラジアン）

a = 3·cos −1 = 1.621

b = 3·sin −1 = −2.524

a = 1.621

答え

a = 1.621

8.複素数

答え: |z| = 3.202

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 25 − 41 = −16 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (5 ± j√16)/2 = 2.5 + j2, 2.5 − j2

答え

|z| = √(2.5² + 2²) = √10.25 = 3.202

答え

|z| = 3.202

9.微分方程式

答え: T = 82.98 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 23 + 277·e^−0.03t

t を代入する

T(51) = 23 + 277·0.2165 = 82.98 °C

答え

T = 82.98 °C

10.微分方程式

答え: y(2) = 5.5

積分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

積分する

(x¹y)′ = 6x → x¹y = 6x²/2 + C

初期条件

2 = 6/2 + C → C = −1

計算する

y(2) = (6·2²/2 + (−1))/2¹ = 5.5

答え

y(2) = 5.5

11.行列と行列式

答え: c₁₁ = −15

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₁₁ = 3·(−5) + 0·(−5) = −15

答え

c₁₁ = −15

12.行列と行列式

答え: λ = 3

固有方程式

λ² − (−1)λ + (−12) = 0

解く

λ = (−1 ± √(49))/2 → λ = −4, 3

λ = 3

答え

λ = 3

13.ベクトル：内積と外積

答え: θ = 96.06 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積

a·b = (−1)·0 + 4·6 + 6·(−5) = −6

大きさ

|a| = √((−1)² + 4² + 6²) = 7.28

|b| = √(0² + 6² + (−5)²) = 7.81

位相角

cos θ = −6/(7.28·7.81) = −0.1055

θ = arccos(−0.1055) = 96.06°

答え

θ = 96.06°

14.ベクトル：内積と外積

答え: n̂_x = −0.4637

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·2 − 2·1 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·4 − 3·2 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·1 − (−4)·4 = 19

正規化する

a × b の z 成分はすでに正です。

|a × b| = √((−10)² + 2² + 19²) = 21.56

n̂ = (−10, 2, 19)/21.56 = (−0.4637, 0.09275, 0.8811)

n̂_x = −0.4637

答え

n̂_x = −0.4637

15.確率

答え: σ = 2.234

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.2 + 6·0.25 = 2.9

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.2 + 36·0.25 = 13.4

分散

Var(X) = 13.4 − 2.9² = 4.99

σ = √4.99 = 2.234

答え

σ = 2.234

16.確率

答え: P = 0.146

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 4) = 210·0.25⁴·0.75⁶ = 210·0.003906·0.178 = 0.146

答え

P = 0.146

17.記述統計

答え: s = 7.607

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 304/6 = 50.67

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 9.333² + (−3.667)² + (−7.667)² + (−7.667)² + 8.333² + 1.333² = 289.3

標準偏差

s = √(289.3/5) = 7.607

答え

s = 7.607

18.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = 2

標準正規分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答え

P = 0.02275

19.正規分布

答え: z = 0.51

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.3899)/2 = 0.6950

z 表を逆に読む

表の中で 0.6950 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.51

答え

z = 0.51

20.正規分布

答え: P = 0.8849

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

確率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答え

P = 0.8849

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