工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−4x² − 6x − 4)/(x² + 6x + 5) を求めなさい。

f(x) = (−4x² − 6x − 4)/(x² + 6x + 5)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 4) とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x² + x − 4 の x = −2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = x² + x − 4x = −2

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.積分むずかしい

直線 y = 3x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 3xy = 3x²

V =

7.複素数ふつう

数 z = 2.5·e^j2.8 の角度はラジアンで表されています。その虚部 b を求めてください。

r = 2.5θ = 2.8 rad

b =

8.複素数むずかしい

z³ − 3z² − 5z + 39 = 0 の解の 1 つは z₁ = 3 + j2 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = 3 + j2

r =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = 6 として y″ + 7y′ + 12y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 6

y(1) =

10.微分方程式むずかしい

y(0) = 2、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + y′ + 9.25y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [3 3 −4; 0 1 4; −3 −1 2]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [−1 −1; −6 0]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

一定の力 F = (−20, −5, −25) N が、点 A(−2, 0, 4) から点 B(−4, −3, −2) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (−20, −5, −25) NA(−2, 0, 4) mB(−4, −3, −2) m

W = J

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(−2, 4, 2)、B(0, 1, −4)、C(−4, 2, 2) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−2, 4, 2)B(0, 1, −4)C(−4, 2, 2)

A = m²

15.確率ふつう

公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 7

P =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 3X + 4 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.2, 0.25, 0.3Y = 3X + 4

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：25, 60, 39, 25, 59。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 20 の正規分布に従います。90 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 20x = 90

z =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7995 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.7995

z =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = −4

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−4 + (−6)/x + (−4)/x²)/(1 + 6/x + 5/x²)

x → ∞ とする

L = −4/1 = −4

答え

L = −4

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 4

1 回目の適用

4·sin 4x/(4x) → 0/0

2 回目の適用

16·cos 4x/4

x = 0 を代入する

L = 16/4 = 4

答え

L = 4

3.微分

答え: f′(2) = 0.5

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 4)

代入する

f′(2) = 4/8 = 0.5

答え

f′(2) = 0.5

4.微分

答え: b = −8

接点と傾き

f(−2) = −2

f′(x) = 2x + 1 → f′(−2) = −3

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−3)·(−2) = −8

答え

b = −8

5.積分

答え: I = 1.5

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

積分して代入する

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

答え

I = 1.5

6.積分

答え: V = 3.77

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

3x = 3x² → x = 0, x = 1

ワッシャー法

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

答え

V = 3.77

7.複素数

答え: b = 0.8375

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

オイラーの公式

z = 2.5·(cos 2.8 + j sin 2.8)

成分（ラジアン）

a = 2.5·cos 2.8 = −2.356

b = 2.5·sin 2.8 = 0.8375

b = 0.8375

答え

b = 0.8375

8.複素数

答え: r = −3

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = 3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 2²) = z² − 6z + 13

2 次式でくくり出す

z³ − 3z² − 5z + 39 = (z² − 6z + 13)(z + 3)

実数の解

r = −3

答え

r = −3

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = 6 + (−3) = 3 = −(−3)。

9.微分方程式

答え: y(1) = 0.4772

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

初期値から求める定数

A + B = 2, −3A − 4B = 6

A = 14, B = −12

計算する

y(1) = 14·e⁻³ + (−12)·e⁻⁴ = 0.4772

答え

y(1) = 0.4772

10.微分方程式

答え: y(0.5) = 0.3691

複素根

r = −0.5 ± 3j

定数

A = 2, B = 0.5·2/3 = 0.3333

計算する

y(0.5) = e^−0.25(2·cos 1.5 + 0.3333·sin 1.5) = 0.3691

答え

y(0.5) = 0.3691

11.行列と行列式

答え: det A = −30

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 6, M₁₂ = 12, M₁₃ = 3

余因子展開

det A = 3·6 − 3·12 + (−4)·3 = −30

答え

det A = −30

12.行列と行列式

答え: λ = 2

固有方程式

λ² − (−1)λ + (−6) = 0

解く

λ = (−1 ± √(25))/2 → λ = −3, 2

λ = 2

答え

λ = 2

13.ベクトル：内積と外積

答え: W = 205 J

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (−4, −3, −2) − (−2, 0, 4) = (−2, −3, −6) m

仕事

W = F·d = (−20)·(−2) + (−5)·(−3) + (−25)·(−6) = 205 J

答え

W = 205 J

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 9.849 m²

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

辺ベクトル

AB = B − A = (2, −3, −6)

AC = C − A = (−2, −2, 0)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·0 − (−6)·(−2) = −12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−6)·(−2) − 2·0 = 12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·(−2) − (−3)·(−2) = −10

|AB × AC| = √((−12)² + 12² + (−10)²) = 19.7

三角形の面積

A = ½·19.7 = 9.849 m²

答え

A = 9.849 m²

15.確率

答え: P = 0.7209

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答え

P = 0.7209

16.確率

答え: σ_Y = 34.73

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 26, Var(X) = 134, σ_X = 11.58

一次変換

σ_Y = |3|·11.58 = 34.73

答え

σ_Y = 34.73

平均は変化します：E(Y) = 3·26 + 4 = 82。

17.記述統計

答え: s = 17.31

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 208/5 = 41.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−16.6)² + 18.4² + (−2.6)² + (−16.6)² + 17.4² = 1199

標準偏差

s = √(1199/4) = 17.31

答え

s = 17.31

18.記述統計

答え: z = 1.5

標準化する

z = (90 − 60)/20 = 1.5

答え

z = 1.5

19.正規分布

答え: z = 1.28

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.7995)/2 = 0.8997

z 表を逆に読む

表の中で 0.8997 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.28

答え

z = 1.28

20.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

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