工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x + 1)³ とします。f′(0) を求めなさい。

f(x) = (−2x + 1)³x = 0

f′(0) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² − 4x + 2 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² − 4x + 2x = 3

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.積分むずかしい

I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.複素数ふつう

z₁ = 3∠150°、z₂ = 4∠80° のとき、w = z₁·z₂ の偏角 θ を、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

z₁ = 3∠150°z₂ = 4∠80°

θ = °

8.複素数むずかしい

ド・モアブルの定理を使って、z = √3 + j のときの z⁹ の虚部を求めてください。

z = √3 + jn = 9

Im(z⁹) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = -4 として y″ + 5y′ + 6y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = -4

y(1) =

10.微分方程式むずかしい

y(0) = 10、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + y′ + 9.25y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [3 −3 −5; −3 1 −2; 4 0 −4]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [4 −2; −4 −3]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (−3, −4, 3) と b = (3, 3, 0) のなす角 θ を度で求めよ。

a = (−3, −4, 3)b = (3, 3, 0)

θ = °

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (−6, −3, −3) と b = (−4, 6, −3) が作る平行四辺形の面積 A を求めよ。

a = (−6, −3, −3)b = (−4, 6, −3)

A =

15.確率ふつう

7 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 7k = 3

N =

16.確率むずかしい

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.25 で €3、確率 0.05 で €10 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€3: p = 0.25€10: p = 0.05

E(G) = €

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：22, 47, 47, 20, 57。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。160 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 160

P =

19.正規分布ふつう

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 200.3 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.3 mm

P =

20.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの下位 60% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点60%

x = 点

3溶液

1.極限

答え: L = 0.1353

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·(−1) = −2

対数をもとに戻す

L = e⁻² = 0.1353

答え

L = 0.1353

2.極限

答え: L = 1

1 回目の適用

2·sin 2x/(4x) → 0/0

2 回目の適用

4·cos 2x/4

x = 0 を代入する

L = 4/4 = 1

答え

L = 1

3.微分

答え: f′(0) = −6

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(−2x + 1)²·(−2)

代入する

f′(0) = 3·1²·(−2) = −6

答え

f′(0) = −6

4.微分

答え: b = −25

接点と傾き

f(3) = 17

f′(x) = 6x − 4 → f′(3) = 14

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17 − 14·3 = −25

答え

b = −25

5.積分

答え: I = 3.75

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

積分して代入する

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

答え

I = 3.75

6.積分

答え: I = 37.59

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

答え

I = 37.59

7.複素数

答え: θ = −130 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 3 · 4 = 12

θ = 150° + 80° = 230° → −130°

偏角

θ = −130°

答え

θ = −130°

8.複素数

答え: Im(z⁹) = −512

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

極形式

z = √3 + j = 2∠30°

ド・モアブル

z⁹ = (2)⁹∠270° = 512∠−90°

直交形式

z⁹ = 512·(cos −90° + j sin −90°) = −j512

Im(z⁹) = −512

答え

Im(z⁹) = −512

9.微分方程式

答え: y(1) = 0.5771

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

初期値から求める定数

A + B = 3, −2A − 3B = -4

A = 5, B = −2

計算する

y(1) = 5·e⁻² + (−2)·e⁻³ = 0.5771

答え

y(1) = 0.5771

10.微分方程式

答え: y(1) = −5.862

複素根

r = −0.5 ± 3j

定数

A = 10, B = 0.5·10/3 = 1.667

計算する

y(1) = e^−0.5(10·cos 3 + 1.667·sin 3) = −5.862

答え

y(1) = −5.862

11.行列と行列式

答え: det A = 68

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −4, M₁₂ = 20, M₁₃ = −4

余因子展開

det A = 3·(−4) − (−3)·20 + (−5)·(−4) = 68

答え

det A = 68

12.行列と行列式

答え: λ = 5

固有方程式

λ² − (1)λ + (−20) = 0

解く

λ = (1 ± √(81))/2 → λ = −4, 5

λ = 5

答え

λ = 5

13.ベクトル：内積と外積

答え: θ = 148.1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積

a·b = (−3)·3 + (−4)·3 + 3·0 = −21

大きさ

|a| = √((−3)² + (−4)² + 3²) = 5.831

|b| = √(3² + 3² + 0²) = 4.243

位相角

cos θ = −21/(5.831·4.243) = −0.8489

θ = arccos(−0.8489) = 148.1°

答え

θ = 148.1°

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 55.4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−3) − (−3)·6 = 27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−4) − (−6)·(−3) = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·6 − (−3)·(−4) = −48

面積

A = |a × b| = √(27² + (−6)² + (−48)²) = 55.4

答え

A = 55.4

15.確率

答え: N = 35

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

答え

N = 35

16.確率

答え: E(G) = 0.25 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 2 (p = 0.25), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.7)

期待値

E(G) = 2·0.25 + 9·0.05 − 1·0.7 = 0.25 €

答え

E(G) = 0.25 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

17.記述統計

答え: s = 16.59

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 193/5 = 38.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−16.6)² + 8.4² + 8.4² + (−18.6)² + 18.4² = 1101

標準偏差

s = √(1101/4) = 16.59

答え

s = 16.59

18.記述統計

答え: P = 0.6915

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答え

P = 0.6915

19.正規分布

答え: P = 0.2743

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (200.3 − 200)/0.5 = 0.6

上側確率

P = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743

20.正規分布

答え: x = 67.5 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.6

表からの z

z ≈ 0.25

元の単位に戻す

x = 65 + 0.25·10 = 67.5 点

答え

x = 67.5 点

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