工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(4x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(1.5) を求めなさい。

f(x) = x·sin(x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 5 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 5

x =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀¹ x·cos x dx

I =

6.積分むずかしい

y = 0.5x² と y = 3x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 0.5x²y = 3x

A =

7.複素数ふつう

z = 6∠140° を直交形式 a + jb で表し、実部 a を答えてください。

r = 6θ = 140°

a =

8.複素数むずかしい

n = 4、w = 81∠0° のとき、zⁿ = w の解は z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, 2, 3 です。z₁ の偏角を、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

w = 81∠0°n = 4k = 1

θ₁ = °

9.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = 0 として y″ + 4y′ + 4y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

10.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 20 kg を溶かした水が 500 L 入っています。 1 L あたり 0.1 kg の塩を含む塩水が 5 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 65 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0.1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [4 4 −4; −4 −4 −2; −1 4 5]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [6 1; −3 2]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (5, 5, −7) と b = (5, 2, 0) の内積 a·b を求めよ。

a = (5, 5, −7)b = (5, 2, 0)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (5, −6, 2)、b = (2, 4, 0) のとき、外積 a × b の x 成分 (a × b)_x を求めよ。

a = (5, −6, 2)b = (2, 4, 0)

(a × b)_x =

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.25, 0.1

σ =

16.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.7 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.7k = 3

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：24, 13, 23, 27, 19。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。42 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 8x = 42

z =

19.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 29.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29.5 min

P =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.05 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 403.4

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 3·2 = 6

対数をもとに戻す

L = e⁶ = 403.4

答え

L = 403.4

2.極限

答え: L = 0.5

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

x = 0 を代入する

L = 2/4 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(1.5) = 1.104

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入する

f′(1.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答え

f′(1.5) = 1.104

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

f′(x) = 0 を解く

x = −2 または x = −1

どちらがどちらか

f″(x) = 6x + 9：極大では負、極小では正。

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = 0.3818

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818

答え

I = 0.3818

6.積分

答え: A = 18

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

上から下を引いて積分する

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

答え

A = 18

7.複素数

答え: a = −4.596

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 6·cos(140°) = −4.596

b = 6·sin(140°) = 3.857

直交形式

z = −4.596 + j3.857

a = −4.596

答え

a = −4.596

8.複素数

答え: θ₁ = 90 °

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

81^1/4 = 3

解の偏角

θ₁ = (0° + 360°·1)/4 = 90°

偏角

θ₁ = 90°

答え

θ₁ = 90°

4 個の解は、半径 3 の円周上に 90° ずつ離れて並びます。

9.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.472

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

定数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 2A → B = 0 + 4 = 4

計算する

y(0.5) = (2 + 4·0.5)·e⁻¹ = 1.472

答え

y(0.5) = 1.472

10.微分方程式

答え: m = 34.34 kg

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

方程式を立てる

dm/dt = 5·0.1 − (5/500)·m = 0.5 − 0.01·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 50 + (−30)·e^−t/100

t を代入する

m(65) = 50 + (−30)·0.522 = 34.34 kg

答え

m = 34.34 kg

11.行列と行列式

答え: det A = 120

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −12, M₁₂ = −22, M₁₃ = −20

余因子展開

det A = 4·(−12) − 4·(−22) + (−4)·(−20) = 120

答え

det A = 120

12.行列と行列式

答え: λ = 5

固有方程式

λ² − (8)λ + (15) = 0

解く

λ = (8 ± √(4))/2 → λ = 3, 5

λ = 5

答え

λ = 5

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 35

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = 5·5 + 5·2 + (−7)·0 = 25 + 10 + 0 = 35

答え

a·b = 35

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)_x = −8

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積を成分ごとに計算する

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·0 − 2·4 = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·2 − 5·0 = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·4 − (−6)·2 = 32

求める成分

(a × b)_x = −8

答え

(a × b)_x = −8

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

15.確率

答え: σ = 0.9631

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.1 = 2.15

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.1 = 5.55

分散

Var(X) = 5.55 − 2.15² = 0.9275

σ = √0.9275 = 0.9631

答え

σ = 0.9631

16.確率

答え: P = 0.003713

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 3) = 165·0.7³·0.3⁸ = 165·0.343·6.561 × 10⁻⁵ = 0.003713

答え

P = 0.003713

17.記述統計

答え: s = 5.404

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 106/5 = 21.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 2.8² + (−8.2)² + 1.8² + 5.8² + (−2.2)² = 116.8

標準偏差

s = √(116.8/4) = 5.404

答え

s = 5.404

18.記述統計

答え: z = −1

標準化する

z = (42 − 50)/8 = −1

答え

z = −1

19.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

上側確率

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413

20.正規分布

答え: P = 0.9772

差の分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.05)/0.025 = −2

確率

P = 1 − Φ(−2) = 0.9772

答え

P = 0.9772

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