工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(4x² + 3x) − 2x) を求めなさい。

f(x) = √(4x² + 3x) − 2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 4) とします。f′(−2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x² + 4x + 5 の x = −2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = x² + 4x + 5x = −2

b =

5.積分ふつう

y = 2x の下の x = 0 から x = 4 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 2x0 ≤ x ≤ 4

V =

6.積分むずかしい

I = ∫₀² x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.複素数ふつう

数 z = 1.5·e^−j0.5 の角度はラジアンで表されています。その実部 a を求めてください。

r = 1.5θ = −0.5 rad

a =

8.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z⁶ = 64∠90° の解です。それをクリックしてください。

w = 64∠90°n = 6

1A (2∠−75°)
2B (2∠105°)
3C (2∠75°)
4D (1∠75°)

9.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 4 として y″ + 2y′ + y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(2) =

10.微分方程式むずかしい

y′ + y = 6e^−0.5t、y(0) = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y′ + y = 6e^−0.5ty(0) = 0

y(0.5) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−1 −2 −5; 5 0 2; −3 5 −5]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −5x − 5y = 0、4x − 5y = 12 を解きなさい。x を求めなさい。

−5x − 5y = 04x − 5y = 12

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−2, 7, 5) と b = (−1, −7, −3) の内積 a·b を求めよ。

a = (−2, 7, 5)b = (−1, −7, −3)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (5, 0, 4)、b = (4, 6, 0) のとき、外積 a × b の z 成分 (a × b)_z を求めよ。

a = (5, 0, 4)b = (4, 6, 0)

(a × b)_z =

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.1, 0.05, 0.35

σ =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = −2X + 4 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.15, 0.25, 0.3Y = −2X + 4

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：46, 44, 50, 55, 57, 30。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。75 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 12x = 75

P =

19.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。53 から 83 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 83

P =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.75

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = 3x/(√(4x² + 3x) + 2x)

x で割る

f(x) = 3/(√(4 + 3/x) + 2)

x → ∞ とする

L = 3/(2 + 2) = 0.75

答え

L = 0.75

2.極限

答え: L = 0.5

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

x = 0 を代入する

L = 1/2 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(−2) = −0.5

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 4)

代入する

f′(−2) = −4/8 = −0.5

答え

f′(−2) = −0.5

4.微分

答え: b = 1

接点と傾き

f(−2) = 1

f′(x) = 2x + 4 → f′(−2) = 0

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 0·(−2) = 1

答え

b = 1

5.積分

答え: V = 268.1

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀⁴ 4x² dx

積分する

V = π·4·4³/3 = 268.1

答え

V = 268.1

確認：半径 8、高さ 4 の円錐は (1/3)πr²h = 268.1 です。

6.積分

答え: I = 12.78

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

答え

I = 12.78

7.複素数

答え: a = 1.316

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

オイラーの公式

z = 1.5·(cos −0.5 + j sin −0.5)

成分（ラジアン）

a = 1.5·cos −0.5 = 1.316

b = 1.5·sin −0.5 = −0.7191

a = 1.316

答え

a = 1.316

8.複素数

答え: C (2∠75°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 2

θ = 15°, 75°, 135°, −165°, −105°, −45°

その点

C = 2∠75°

答え

C (2∠75°)

9.微分方程式

答え: y(2) = 2.301

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

定数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 3 = 7

計算する

y(2) = (3 + 7·2)·e⁻² = 2.301

答え

y(2) = 2.301

10.微分方程式

答え: y(0.5) = 2.067

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

積分因子

μ = e^t

(e^ty)′ = 6e^0.5t

一般解

y = 6/0.5·e^−0.5t + C·e^−t = 12·e^−0.5t + C·e^−t

初期条件

0 = 12 + C → C = −12

計算する

y(0.5) = 12·0.7788 + (−12)·0.6065 = 2.067

答え

y(0.5) = 2.067

11.行列と行列式

答え: det A = −153

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −10, M₁₂ = −19, M₁₃ = 25

余因子展開

det A = (−1)·(−10) − (−2)·(−19) + (−5)·25 = −153

答え

det A = −153

12.行列と行列式

答え: x = 1.333

係数行列の行列式

det A = (−5)·(−5) − (−5)·4 = 45

x の列を置き換える

det Aₓ = 0·(−5) − (−5)·12 = 60

x = 60/45 = 1.333

答え

x = 1.333

y = −1.333

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −62

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = (−2)·(−1) + 7·(−7) + 5·(−3) = 2 + (−49) + (−15) = −62

答え

a·b = −62

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)_z = 30

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積を成分ごとに計算する

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·0 − 4·6 = −24

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·4 − 5·0 = 16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·6 − 0·4 = 30

求める成分

(a × b)_z = 30

答え

(a × b)_z = 30

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

15.確率

答え: σ = 1.596

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.05 + 4·0.35 = 2.05

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.05 + 16·0.35 = 6.75

分散

Var(X) = 6.75 − 2.05² = 2.548

σ = √2.548 = 1.596

答え

σ = 1.596

16.確率

答え: σ_Y = 24.06

X のばらつき

μ = 25.5, Var(X) = 144.8, σ_X = 12.03

一次変換

σ_Y = |−2|·12.03 = 24.06

答え

σ_Y = 24.06

平均は変化します：E(Y) = −2·25.5 + 4 = −47。

17.記述統計

答え: s = 9.716

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 282/6 = 47

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−3)² + 3² + 8² + 10² + (−17)² = 472

標準偏差

s = √(472/5) = 9.716

答え

s = 9.716

18.記述統計

答え: P = 0.8944

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答え

P = 0.8944

19.正規分布

答え: P = 0.849

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (53 − 65)/10 = −1.2

z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8

間の面積

P = Φ(1.8) − Φ(−1.2) = 0.9641 − 0.1151 = 0.849

答え

P = 0.849

20.正規分布

答え: P = 0.8849

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

確率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答え

P = 0.8849

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