工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−5x² + x + 1)/(x² + 5x + 9) を求めなさい。

f(x) = (−5x² + x + 1)/(x² + 5x + 9)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1.5) を求めなさい。

f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = x² − 1 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = x² − 1x = 1

b =

5.積分ふつう

y = 0.5x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 2

V =

6.積分むずかしい

直線 y = 3x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 3xy = 3x²

V =

7.複素数ふつう

z = −3 − j4 の偏角 θ を、−180° から 180° の間の主値として、度で求めてください。

z = −3 − j4

θ = °

8.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z⁶ = 729∠90° の解です。それをクリックしてください。

w = 729∠90°n = 6

1A (3∠165°)
2B (3∠135°)
3C (3∠90°)
4D (5.4∠165°)

9.微分方程式ふつう

480 °C の鍛造鋼部品を 30 °C の作業場に置いて冷まします。 57 分後の温度は 111 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 480 °CT_a = 30 °CT(57) = 111 °C

k = min⁻¹

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 9.25y = 9.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + y′ + 9.25y = 9.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₁₁（第 1 行、第 1 列）を求めなさい。

A = [−5 −2; −3 2]B = [2 6; 4 6]

c₁₁ =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [2 2; 3 1]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (4, 7, −3) と b = (−6, 2, −3) の内積 a·b を求めよ。

a = (4, 7, −3)b = (−6, 2, −3)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

1 つの頂点から出る辺が a = (2, 3, 1)、b = (−2, −5, 2)、c = (3, −4, −3) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (2, 3, 1)b = (−2, −5, 2)c = (3, −4, −3)

V =

15.確率ふつう

公正なさいころを 5 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 5

P =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = −2X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.15, 0.15Y = −2X + 20

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 23, 29, 12, 20, 50。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。160 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 5x = 160

P =

19.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 9 個の合計質量が 222.8 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9< 222.8 kg

P =

20.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 75% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

3溶液

1.極限

答え: L = −5

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−5 + 1/x + 1/x²)/(1 + 5/x + 9/x²)

x → ∞ とする

L = −5/1 = −5

答え

L = −5

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 0.125

1 回目の適用

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

0.25·e^0.5x/2

x = 0 を代入する

L = 0.25·1/2 = 0.125

答え

L = 0.125

3.微分

答え: f′(1.5) = −1.926

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入する

f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926

答え

f′(1.5) = −1.926

4.微分

答え: b = −2

接点と傾き

f(1) = 0

f′(x) = 2x → f′(1) = 2

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 2·1 = −2

答え

b = −2

5.積分

答え: V = 2.094

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 0.25x² dx

積分する

V = π·0.25·2³/3 = 2.094

答え

V = 2.094

確認：半径 1、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 2.094 です。

6.積分

答え: V = 3.77

交点

3x = 3x² → x = 0, x = 1

ワッシャー法

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

答え

V = 3.77

7.複素数

答え: θ = −126.9 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

象限

a = −3, b = −4 → III

基準角

α = atan(4/3) = 53.13°

偏角

θ = −(180° − α) = −126.9°

答え

θ = −126.9°

極形式では z = 5∠−126.9° です。

8.複素数

答え: B (3∠135°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 3

θ = 15°, 75°, 135°, −165°, −105°, −45°

その点

B = 3∠135°

答え

B (3∠135°)

9.微分方程式

答え: k = 0.03008 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−57k = 81/450

k について解く

k = ln(450/81)/57 = 0.03008 min⁻¹

答え

k = 0.03008 min⁻¹

10.微分方程式

答え: y_max = 1.592

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

y_ss = 1, r = −0.5 ± 3j

初期値から求める定数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.1667

ピーク

t = π/3 = 1.047

y_max = 1·(1 + e^−0.5·π/3) = 1.592

答え

y_max = 1.592

11.行列と行列式

答え: c₁₁ = −18

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₁₁ = (−5)·2 + (−2)·4 = −18

答え

c₁₁ = −18

12.行列と行列式

答え: λ = 4

固有方程式

λ² − (3)λ + (−4) = 0

解く

λ = (3 ± √(25))/2 → λ = −1, 4

λ = 4

答え

λ = 4

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −1

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = 4·(−6) + 7·2 + (−3)·(−3) = (−24) + 14 + 9 = −1

答え

a·b = −1

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: V = 69

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−3) − 2·(−4) = 23

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·3 − (−2)·(−3) = 0

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·(−4) − (−5)·3 = 23

a との内積

a·(b × c) = 2·23 + 3·0 + 1·23 = 69

V = |69| = 69

答え

V = 69

15.確率

答え: P = 0.5981

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答え

P = 0.5981

16.確率

答え: σ_Y = 4.176

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.2, Var(X) = 4.36, σ_X = 2.088

一次変換

σ_Y = |−2|·2.088 = 4.176

答え

σ_Y = 4.176

平均は変化します：E(Y) = −2·2.2 + 20 = 15.6。

17.記述統計

答え: s = 13.76

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 173/6 = 28.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 10.17² + (−5.833)² + 0.1667² + (−16.83)² + (−8.833)² + 21.17² = 946.8

標準偏差

s = √(946.8/5) = 13.76

答え

s = 13.76

18.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答え

P = 0.02275

19.正規分布

答え: P = 0.07078

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 225 kg, σ_T = 0.5·√9 = 1.5 kg

標準化する

z = (222.8 − 225)/1.5 = −1.47

確率

P = Φ(−1.47) = 0.07078

答え

P = 0.07078

20.正規分布

答え: x = 182.7 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.75

表からの z

z ≈ 0.67

元の単位に戻す

x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm

答え

x = 182.7 cm

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