工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (4x² − 2x + 1)/(4x² + 4x + 7) を求めなさい。

f(x) = (4x² − 2x + 1)/(4x² + 4x + 7)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x + 3)³ とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = (−2x + 3)³x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 6x² とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 6x²

x =

5.積分ふつう

y = 3x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

6.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

7.複素数ふつう

z = 5 − j7 を指数形式 r·e^jθ で表してください。θ をラジアンで、−π から π の間で答えてください。

z = 5 − j7

θ = rad

8.複素数むずかしい

方程式 z² − 6z + 13 = 0 には 2 つの複素数の解があります。その絶対値 |z| を求めてください。

p = −6q = 13

|z| =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 1 として y″ + 2y′ + y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(1.5) =

10.微分方程式むずかしい

タンクに純水が 400 L 入っています。 1 L あたり 0.05 kg の塩を含む塩水が 4 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。タンク内の塩が 14 kg になるのは何分後 t ですか？

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 4 L/min

t = min

11.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₂₂（第 2 行、第 2 列）を求めなさい。

A = [−5 0; −5 6]B = [6 0; 3 −5]

c₂₂ =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [1 1; 3 3]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−7, −1, 2) の b = (1, 3, −3) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (−7, −1, 2)b = (1, 3, −3)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

力 F = (10, 50, 60) N が点 A(2, 0, 4) に作用している。座標の単位はメートルである。点 O(−3, 2, 3) まわりの力のモーメントの x 成分 M_x を求めよ。

F = (10, 50, 60) NA(2, 0, 4) mO(−3, 2, 3) m

M_x = N·m

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.25, 0.2

σ =

16.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.1k = 1

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 16, 27, 50, 19, 28。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。200 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 200

P =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9216 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9216

z =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 1

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(4 + (−2)/x + 1/x²)/(4 + 4/x + 7/x²)

x → ∞ とする

L = 4/4 = 1

答え

L = 1

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 4.167

1 回目の適用

5·sin 5x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

25·cos 5x/6

x = 0 を代入する

L = 25/6 = 4.167

答え

L = 4.167

3.微分

答え: f′(2) = −6

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(−2x + 3)²·(−2)

代入する

f′(2) = 3·(−1)²·(−2) = −6

答え

f′(2) = −6

4.微分

答え: x = 4

導関数

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

f′(x) = 0 を解く

x = 0 または x = 4

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 12：極大では負、極小では正。

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

答え

x = 4

5.積分

答え: V = 75.4

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 9x² dx

積分する

V = π·9·2³/3 = 75.4

答え

V = 75.4

確認：半径 6、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 75.4 です。

6.積分

答え: A = 10.67

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

7.複素数

答え: θ = −0.9505 rad

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

絶対値

r = √(25 + 49) = 8.602

ラジアンでの偏角

θ = −54.46° = −54.46·π/180 = −0.9505 rad

指数形式

z = 8.602·e^−j0.9505

答え

θ = −0.9505 rad

8.複素数

答え: |z| = 3.606

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 36 − 52 = −16 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (6 ± j√16)/2 = 3 + j2, 3 − j2

答え

|z| = √(3² + 2²) = √13 = 3.606

答え

|z| = 3.606

9.微分方程式

答え: y(1.5) = 2.008

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

定数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 3 = 4

計算する

y(1.5) = (3 + 4·1.5)·e^−1.5 = 2.008

答え

y(1.5) = 2.008

10.微分方程式

答え: t = 120.4 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

結果

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/100

t について解く

e^−t/100 = (20 − 14)/(20 − 0) = 0.3

t = 100·ln(3.333) = 120.4 min

答え

t = 120.4 min

11.行列と行列式

答え: c₂₂ = −30

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₂₂ = (−5)·0 + 6·(−5) = −30

答え

c₂₂ = −30

12.行列と行列式

答え: λ = 4

固有方程式

λ² − (4)λ + (0) = 0

解く

λ = (4 ± √(16))/2 → λ = 0, 4

λ = 4

答え

λ = 4

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = −3.671

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = (−7)·1 + (−1)·3 + 2·(−3) = −16

b の長さ

|b| = √(1² + 3² + (−3)²) = 4.359

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = −16/4.359 = −3.671

答え

comp_b a = −3.671

負：a には b と逆向きの成分があります。

14.ベクトル：内積と外積

答え: M_x = −170 N·m

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

O から A への位置ベクトル

r = A − O = (2, 0, 4) − (−3, 2, 3) = (5, −2, 1) m

モーメント M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·60 − 1·50 = −170 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·10 − 5·60 = −290 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 5·50 − (−2)·10 = 270 N·m

求める成分

M_x = −170 N·m

答え

M_x = −170 N·m

15.確率

答え: σ = 10.68

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.25 + 40·0.2 = 24

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.25 + 1600·0.2 = 690

分散

Var(X) = 690 − 24² = 114

σ = √114 = 10.68

答え

σ = 10.68

16.確率

答え: P = 0.3874

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 1) = 9·0.1¹·0.9⁸ = 9·0.1·0.4305 = 0.3874

答え

P = 0.3874

17.記述統計

答え: s = 12.73

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 157/6 = 26.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−9.167)² + (−10.17)² + 0.8333² + 23.83² + (−7.167)² + 1.833² = 810.8

標準偏差

s = √(810.8/5) = 12.73

答え

s = 12.73

18.記述統計

答え: P = 0.06681

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

答え

P = 0.06681

19.正規分布

答え: z = 1.76

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9216)/2 = 0.9608

z 表を逆に読む

表の中で 0.9608 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.76

答え

z = 1.76

20.正規分布

答え: P = 0.983

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12

確率

P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983

答え

P = 0.983

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics