工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 4) とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 4)x = 1

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 1.5x² − 6x − 3 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 1.5x² − 6x − 3

x =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.積分むずかしい

y = x² と y = 4x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = x²y = 4x

A =

7.複素数ふつう

図には z = 2 + j3 が示されています。w = 0.5∠90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = 2 + j3w = 0.5∠90°

1A (4 + j6)
2B (−6 + j4)
3C (3 − j2)
4D (6 − j4)

8.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z³ = 27∠180° の解です。それをクリックしてください。

w = 27∠180°n = 3

1A (3∠−60°)
2B (3∠−30°)
3C (3∠−90°)
4D (1.5∠−60°)

9.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = 4 として y″ + 5y′ + 6y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1.5) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 11.25y = 56.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(1.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 11.25y = 56.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [4 4 2; −3 −5 1; 0 2 −3]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [−3 4; 2 4]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (4, 1, −3) の b = (6, −5, −5) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (4, 1, −3)b = (6, −5, −5)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (4, 2, −3)、b = (5, 2, −1) のとき、外積 a × b の y 成分 (a × b)_y を求めよ。

a = (4, 2, −3)b = (5, 2, −1)

(a × b)_y =

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25

σ =

16.確率むずかしい

ゲームの参加費は €5 です。確率 0.3 で €25、確率 0.01 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €5€25: p = 0.3€50: p = 0.01

E(G) = €

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：40, 49, 20, 49, 34。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。110 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 8x = 110

P =

19.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。24.8 から 44.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 24.8x₂ = 44.3

P =

20.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.01832

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·(−2) = −4

対数をもとに戻す

L = e⁻⁴ = 0.01832

答え

L = 0.01832

2.極限

答え: L = 0.5

1 回目の適用

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

1·e^−x/2

x = 0 を代入する

L = 1·1/2 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(1) = 0.4

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 4)

代入する

f′(1) = 2/5 = 0.4

答え

f′(1) = 0.4

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 2

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 3：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = 1.5

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

積分して代入する

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

答え

I = 1.5

6.積分

答え: A = 10.67

交点

x² = 4x → x = 0, x = 4

上から下を引いて積分する

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

答え

A = 10.67

7.複素数

答え: D (6 − j4)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

その点

z/w = 6 − j4 → D

答え

D (6 − j4)

8.複素数

答え: A (3∠−60°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 3

θ = 60°, 180°, −60°

その点

A = 3∠−60°

答え

A (3∠−60°)

9.微分方程式

答え: y(1.5) = 0.409

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

初期値から求める定数

A + B = 2, −2A − 3B = 4

A = 10, B = −8

計算する

y(1.5) = 10·e⁻³ + (−8)·e^−4.5 = 0.409

答え

y(1.5) = 0.409

10.微分方程式

答え: y(1.5) = 5.369

定常値と根

y_ss = 5, r = −1.5 ± 3j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −2.5

計算する

y(1.5) = 5·(1 − e^−2.25(cos 4.5 + 0.5·sin 4.5)) = 5.369

答え

y(1.5) = 5.369

11.行列と行列式

答え: det A = 4

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 13, M₁₂ = 9, M₁₃ = −6

余因子展開

det A = 4·13 − 4·9 + 2·(−6) = 4

答え

det A = 4

12.行列と行列式

答え: λ = 5

固有方程式

λ² − (1)λ + (−20) = 0

解く

λ = (1 ± √(81))/2 → λ = −4, 5

λ = 5

答え

λ = 5

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = 3.666

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積

a·b = 4·6 + 1·(−5) + (−3)·(−5) = 34

b の長さ

|b| = √(6² + (−5)² + (−5)²) = 9.274

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = 34/9.274 = 3.666

答え

comp_b a = 3.666

14.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)_y = −11

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積を成分ごとに計算する

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−3)·2 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·5 − 4·(−1) = −11

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·2 − 2·5 = −2

求める成分

(a × b)_y = −11

答え

(a × b)_y = −11

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

15.確率

答え: σ = 2.4

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.35 + 2·0.15 + 4·0.25 + 6·0.25 = 2.8

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.15 + 16·0.25 + 36·0.25 = 13.6

分散

Var(X) = 13.6 − 2.8² = 5.76

σ = √5.76 = 2.4

答え

σ = 2.4

16.確率

答え: E(G) = 3 €

純利得の結果

G: 20 (p = 0.3), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)

期待値

E(G) = 20·0.3 + 45·0.01 − 5·0.69 = 3 €

答え

E(G) = 3 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

17.記述統計

答え: s = 12.1

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 192/5 = 38.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 1.6² + 10.6² + (−18.4)² + 10.6² + (−4.4)² = 585.2

標準偏差

s = √(585.2/4) = 12.1

答え

s = 12.1

18.記述統計

答え: P = 0.8944

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答え

P = 0.8944

19.正規分布

答え: P = 0.8647

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

間の面積

P = Φ(2.05) − Φ(−1.2) = 0.9798 − 0.1151 = 0.8647

答え

P = 0.8647

20.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

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