工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−6x² + 3x + 6)/(3x² + 5x + 4) を求めなさい。

f(x) = (−6x² + 3x + 6)/(3x² + 5x + 4)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(4x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² − 3x + 4 の x = −2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² − 3x + 4x = −2

b =

5.積分ふつう

I = ∫₂⁸ 1/x dx を計算しなさい。

f(x) = 1/x[2, 8]

I =

6.積分むずかしい

直線 y = 4x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 4xy = x²

V =

7.複素数ふつう

z₁ = 2∠150°、z₂ = 2∠65° のとき、w = z₁·z₂ の偏角 θ を、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

z₁ = 2∠150°z₂ = 2∠65°

θ = °

8.複素数むずかしい

z³ − z² − 5z + 125 = 0 の解の 1 つは z₁ = 3 + j4 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = 3 + j4

r =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 1、y′(0) = 2 として y″ + 8y′ + 16y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(1.5) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 16.25y = 32.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + y′ + 16.25y = 32.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [4 5 0; 4 3 −3; 0 3 −2]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −4x + 2y = 11、5x + 2y = 5 を解きなさい。x を求めなさい。

−4x + 2y = 115x + 2y = 5

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (3, 6, −4) と b = (5, 6, 0) の内積 a·b を求めよ。

a = (3, 6, −4)b = (5, 6, 0)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

単位ベクトル n̂ は、a = (−3, 3, 4) と b = (−5, 4, 1) の両方に垂直で、z 成分が正である。その y 成分 n̂_y を求めよ。

a = (−3, 3, 4)b = (−5, 4, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35

Var(X) =

16.確率むずかしい

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.2 で €4、確率 0.02 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€4: p = 0.2€20: p = 0.02

E(G) = €

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 33, 57, 55, 57, 40, 28。

n = 7

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 12 の正規分布に従います。90.4 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 12x = 90.4

P =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7457 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.7457

z =

20.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 97.5%

x = g

3溶液

1.極限

答え: L = −2

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−6 + 3/x + 6/x²)/(3 + 5/x + 4/x²)

x → ∞ とする

L = −6/3 = −2

答え

L = −2

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 0.5

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

x = 0 を代入する

L = 2/4 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(1) = −2.829

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入する

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答え

f′(1) = −2.829

4.微分

答え: b = −8

接点と傾き

f(−2) = 22

f′(x) = 6x − 3 → f′(−2) = −15

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 22 − (−15)·(−2) = −8

答え

b = −8

5.積分

答え: I = 1.386

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = ln x

上端と下端を代入する

I = (ln 8 − ln 2) = ln 4 = 1.386

答え

I = 1.386

6.積分

答え: V = 428.9

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

4x = 1x² → x = 0, x = 4

ワッシャー法

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

積分する

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9

答え

V = 428.9

7.複素数

答え: θ = −145 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 2 · 2 = 4

θ = 150° + 65° = 215° → −145°

偏角

θ = −145°

答え

θ = −145°

8.複素数

答え: r = −5

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = 3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

2 次式でくくり出す

z³ − z² − 5z + 125 = (z² − 6z + 25)(z + 5)

実数の解

r = −5

答え

r = −5

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = 6 + (−5) = 1 = −(−1)。

9.微分方程式

答え: y(1.5) = 0.02479

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

定数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 4 = 6

計算する

y(1.5) = (1 + 6·1.5)·e⁻⁶ = 0.02479

答え

y(1.5) = 0.02479

10.微分方程式

答え: y_max = 3.35

定常値と根

y_ss = 2, r = −0.5 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.25

ピーク

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−0.5·π/4) = 3.35

答え

y_max = 3.35

11.行列と行列式

答え: det A = 52

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 3, M₁₂ = −8, M₁₃ = 12

余因子展開

det A = 4·3 − 5·(−8) + 0·12 = 52

答え

det A = 52

12.行列と行列式

答え: x = −0.6667

係数行列の行列式

det A = (−4)·2 − 2·5 = −18

x の列を置き換える

det Aₓ = 11·2 − 2·5 = 12

x = 12/(−18) = −0.6667

答え

x = −0.6667

y = 4.167

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 51

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = 3·5 + 6·6 + (−4)·0 = 15 + 36 + 0 = 51

答え

a·b = 51

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: n̂_y = −0.7867

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·1 − 4·4 = −13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−5) − (−3)·1 = −17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − 3·(−5) = 3

正規化する

a × b の z 成分はすでに正です。

|a × b| = √((−13)² + (−17)² + 3²) = 21.61

n̂ = (−13, −17, 3)/21.61 = (−0.6016, −0.7867, 0.1388)

n̂_y = −0.7867

答え

n̂_y = −0.7867

15.確率

答え: Var(X) = 145

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.05 + 40·0.35 = 25

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.05 + 1600·0.35 = 770

分散

Var(X) = 770 − 25² = 145

答え

Var(X) = 145

16.確率

答え: E(G) = 0.2 €

純利得の結果

G: 3 (p = 0.2), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.78)

期待値

E(G) = 3·0.2 + 19·0.02 − 1·0.78 = 0.2 €

答え

E(G) = 0.2 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

17.記述統計

答え: s = 12.85

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 302/7 = 43.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−11.14)² + (−10.14)² + 13.86² + 11.86² + 13.86² + (−3.143)² + (−15.14)² = 990.9

標準偏差

s = √(990.9/6) = 12.85

答え

s = 12.85

18.記述統計

答え: P = 0.2119

標準化する

z = −0.8

標準正規分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答え

P = 0.2119

19.正規分布

答え: z = 1.14

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.7457)/2 = 0.8729

z 表を逆に読む

表の中で 0.8729 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.14

答え

z = 1.14

20.正規分布

答え: x = 259.8 g

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g

答え

x = 259.8 g

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