工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 0.5/x)^xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 2) とします。f′(−2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 2)x = −2

f′(−2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x² + 3x − 4 の x = −1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = x² + 3x − 4x = −1

b =

5.積分ふつう

y = √(4x) の下の x = 0 から x = 4 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 4

V =

6.積分むずかしい

I = ∫₀³ x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.複素数ふつう

z₁ = 1.5∠−60°、z₂ = 2∠65° のとき、w = z₁·z₂ の実部を求めてください。

z₁ = 1.5∠−60°z₂ = 2∠65°

Re(w) =

8.複素数むずかしい

n = 3、w = 64∠135° のとき、zⁿ = w の解は z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, 2 です。z₂ の実部を求めてください。

w = 64∠135°n = 3k = 2

Re(z₂) =

9.微分方程式ふつう

420 °C の鍛造鋼部品を 24 °C の作業場に置いて冷まします。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.05 min⁻¹ として、21 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 420 °CT_a = 24 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 21 min

T = °C

10.微分方程式むずかしい

y′ + 2y = 5e^−3t、y(0) = 2 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y′ + 2y = 5e^−3ty(0) = 2

y(1) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−4 −3 −1; 3 1 −1; 0 −3 −1]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [3 −4; 2 −3]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−6, −4, −2) と b = (3, 3, 4) の内積 a·b を求めよ。

a = (−6, −4, −2)b = (3, 3, 4)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

1 つの頂点から出る辺が a = (−5, 0, −3)、b = (0, −5, 3)、c = (−5, −4, −4) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (−5, 0, −3)b = (0, −5, 3)c = (−5, −4, −4)

V =

15.確率ふつう

袋に赤玉 4 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 7

P =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 2X + 10 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3Y = 2X + 10

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 51, 14, 39, 18。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。154 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 154

P =

19.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0721 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0721

z =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.05 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 1.649

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0.5/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 1·0.5 = 0.5

対数をもとに戻す

L = e^0.5 = 1.649

答え

L = 1.649

2.極限

答え: L = 2

1 回目の適用

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

4·e^2x/2

x = 0 を代入する

L = 4·1/2 = 2

答え

L = 2

3.微分

答え: f′(−2) = −0.6667

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 2)

代入する

f′(−2) = −4/6 = −0.6667

答え

f′(−2) = −0.6667

4.微分

答え: b = −5

接点と傾き

f(−1) = −6

f′(x) = 2x + 3 → f′(−1) = 1

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 1·(−1) = −5

答え

b = −5

5.積分

答え: V = 100.5

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀⁴ 4x dx

積分する

V = π·4·4²/2 = 100.5

答え

V = 100.5

6.積分

答え: I = 98.43

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答え

I = 98.43

7.複素数

答え: Re(w) = 2.989

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 1.5 · 2 = 3

θ = −60° + 65° = 5°

直交形式

Re(w) = 3·cos(5°) = 2.989

Im(w) = 3·sin(5°) = 0.2615

Re(w) = 2.989

答え

Re(w) = 2.989

8.複素数

答え: Re(z₂) = 1.035

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

64^1/3 = 4

解の偏角

θ₂ = (135° + 360°·2)/3 = 285° → −75°

直交形式

z₂ = 4·(cos −75° + j sin −75°) = 1.035 − j3.864

Re(z₂) = 1.035

答え

Re(z₂) = 1.035

3 個の解は、半径 4 の円周上に 120° ずつ離れて並びます。

9.微分方程式

答え: T = 162.6 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 24 + 396·e^−0.05t

t を代入する

T(21) = 24 + 396·0.3499 = 162.6 °C

答え

T = 162.6 °C

10.微分方程式

答え: y(1) = 0.6984

積分因子

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 5e^−t

一般解

y = 5/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −5·e^−3t + C·e^−2t

初期条件

2 = −5 + C → C = 7

計算する

y(1) = −5·0.04979 + 7·0.1353 = 0.6984

答え

y(1) = 0.6984

11.行列と行列式

答え: det A = 16

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −4, M₁₂ = −3, M₁₃ = −9

余因子展開

det A = (−4)·(−4) − (−3)·(−3) + (−1)·(−9) = 16

答え

det A = 16

12.行列と行列式

答え: λ = 1

固有方程式

λ² − (0)λ + (−1) = 0

解く

λ = (0 ± √(4))/2 → λ = −1, 1

λ = 1

答え

λ = 1

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = −38

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

対応する成分を掛けて足す

a·b = (−6)·3 + (−4)·3 + (−2)·4 = (−18) + (−12) + (−8) = −38

答え

a·b = −38

負：2 つのベクトルのなす角は 90° より大きい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: V = 85

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−4) − 3·(−4) = 32

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−5) − 0·(−4) = −15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·(−4) − (−5)·(−5) = −25

a との内積

a·(b × c) = (−5)·32 + 0·(−15) + (−3)·(−25) = −85

V = |−85| = 85

答え

V = 85

15.確率

答え: P = 0.1091

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091

答え

P = 0.1091

16.確率

答え: σ_Y = 2.4

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.6, Var(X) = 1.44, σ_X = 1.2

一次変換

σ_Y = |2|·1.2 = 2.4

答え

σ_Y = 2.4

平均は変化します：E(Y) = 2·2.6 + 10 = 15.2。

17.記述統計

答え: s = 18.72

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 177/5 = 35.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 19.6² + 15.6² + (−21.4)² + 3.6² + (−17.4)² = 1401

標準偏差

s = √(1401/4) = 18.72

答え

s = 18.72

18.記述統計

答え: P = 0.7881

標準化する

z = −0.8

標準正規分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答え

P = 0.7881

19.正規分布

答え: z = 1.46

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0721 = 0.9279

z 表を逆に読む

表の中で 0.9279 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.46

答え

z = 1.46

20.正規分布

答え: P = 0.9875

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

確率

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

答え

P = 0.9875

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