工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−2x² − 6x − 8)/(5x² + 6x + 8) を求めなさい。

f(x) = (−2x² − 6x − 8)/(5x² + 6x + 8)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (2x + 3)³ とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = (2x + 3)³x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = 2x² + 5x + 3 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 2x² + 5x + 3x = 1

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀^π x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π x·cos x dx

I =

6.積分むずかしい

y = 0.5x² と y = 4x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 0.5x²y = 4x

A =

7.複素数ふつう

数 z = 5·e^j2.8 の角度はラジアンで表されています。その実部 a を求めてください。

r = 5θ = 2.8 rad

a =

8.複素数むずかしい

(−1 + j3)⁵ の虚部を求めてください。

z = −1 + j3n = 5

Im(z⁵) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 5、y′(0) = 2 として y″ + 8y′ + 16y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(0.5) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 29y = 145 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(1.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 29y = 145y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−1 4 2; −2 −1 −5; 4 −2 −1]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −3x + 3y = 9、3x + 3y = −7 を解きなさい。x を求めなさい。

−3x + 3y = 93x + 3y = −7

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

一定の力 F = (−10, −10, −10) N が、点 A(4, 3, 1) から点 B(−4, −4, 3) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (−10, −10, −10) NA(4, 3, 1) mB(−4, −4, 3) m

W = J

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

1 つの頂点から出る辺が a = (2, 4, −4)、b = (3, −5, −3)、c = (−1, 3, 5) である平行六面体の体積 V を求めよ。

a = (2, 4, −4)b = (3, −5, −3)c = (−1, 3, 5)

V =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.25, 0.35

Var(X) =

16.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 4 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.35Y = 0.5X + 4

σ_Y =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 25, 33, 27, 25。

n = 5

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。516 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 40x = 516

z =

19.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 757.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757.9 g

P =

20.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = −0.4

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−2 + (−6)/x + (−8)/x²)/(5 + 6/x + 8/x²)

x → ∞ とする

L = −2/5 = −0.4

答え

L = −0.4

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 12.5

1 回目の適用

5·sin 5x/(2x) → 0/0

2 回目の適用

25·cos 5x/2

x = 0 を代入する

L = 25/2 = 12.5

答え

L = 12.5

3.微分

答え: f′(2) = 294

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(2x + 3)²·2

代入する

f′(2) = 3·7²·2 = 294

答え

f′(2) = 294

4.微分

答え: b = 1

接点と傾き

f(1) = 10

f′(x) = 4x + 5 → f′(1) = 9

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 9·1 = 1

答え

b = 1

5.積分

答え: I = −2

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

答え

I = −2

6.積分

答え: A = 42.67

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

0.5x² = 4x → x = 0, x = 8

上から下を引いて積分する

A = [2x² − 0.1667x³]₀⁸ = 42.67

答え

A = 42.67

7.複素数

答え: a = −4.711

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

オイラーの公式

z = 5·(cos 2.8 + j sin 2.8)

成分（ラジアン）

a = 5·cos 2.8 = −4.711

b = 5·sin 2.8 = 1.675

a = −4.711

答え

a = −4.711

8.複素数

答え: Im(z⁵) = −12

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−1 + j3)(−1 + j3) = −8 − j6

z³ = (−8 − j6)(−1 + j3) = 26 − j18

z⁴ = (26 − j18)(−1 + j3) = 28 + j96

z⁵ = (28 + j96)(−1 + j3) = −316 − j12

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 3.162∠108.4° → z⁵ = 316.2∠−177.8°

Im(z⁵) = −12

答え

Im(z⁵) = −12

9.微分方程式

答え: y(0.5) = 2.165

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

定数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 2 + 20 = 22

計算する

y(0.5) = (5 + 22·0.5)·e⁻² = 2.165

答え

y(0.5) = 2.165

10.微分方程式

答え: y(1.5) = 4.82

定常値と根

y_ss = 5, r = −2 ± 5j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −2

計算する

y(1.5) = 5·(1 − e⁻³(cos 7.5 + 0.4·sin 7.5)) = 4.82

答え

y(1.5) = 4.82

11.行列と行列式

答え: det A = −63

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −9, M₁₂ = 22, M₁₃ = 8

余因子展開

det A = (−1)·(−9) − 4·22 + 2·8 = −63

答え

det A = −63

12.行列と行列式

答え: x = −2.667

係数行列の行列式

det A = (−3)·3 − 3·3 = −18

x の列を置き換える

det Aₓ = 9·3 − 3·(−7) = 48

x = 48/(−18) = −2.667

答え

x = −2.667

y = 0.3333

13.ベクトル：内積と外積

答え: W = 130 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

変位

d = B − A = (−4, −4, 3) − (4, 3, 1) = (−8, −7, 2) m

仕事

W = F·d = (−10)·(−8) + (−10)·(−7) + (−10)·2 = 130 J

答え

W = 130 J

14.ベクトル：内積と外積

答え: V = 96

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·5 − (−3)·3 = −16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−1) − 3·5 = −12

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·3 − (−5)·(−1) = 4

a との内積

a·(b × c) = 2·(−16) + 4·(−12) + (−4)·4 = −96

V = |−96| = 96

答え

V = 96

15.確率

答え: Var(X) = 0.89

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.9

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.35 = 9.3

分散

Var(X) = 9.3 − 2.9² = 0.89

答え

Var(X) = 0.89

16.確率

答え: σ_Y = 1.241

X のばらつき

μ = 3.2, Var(X) = 6.16, σ_X = 2.482

一次変換

σ_Y = |0.5|·2.482 = 1.241

答え

σ_Y = 1.241

平均は変化します：E(Y) = 0.5·3.2 + 4 = 5.6。

17.記述統計

答え: s = 5.367

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 147/5 = 29.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 7.6² + (−4.4)² + 3.6² + (−2.4)² + (−4.4)² = 115.2

標準偏差

s = √(115.2/4) = 5.367

答え

s = 5.367

18.記述統計

答え: z = 0.4

標準化する

z = (516 − 500)/40 = 0.4

答え

z = 0.4

19.正規分布

答え: P = 0.2119

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8

上側確率

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答え

P = 0.2119

20.正規分布

答え: P = 0.9633

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

確率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答え

P = 0.9633

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