工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−5x³ + x + 5)/(3x³ + x + 6) を求めなさい。

f(x) = (−5x³ + x + 5)/(3x³ + x + 6)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(2x² + 5) とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = ln(2x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ + 7.5x² + 12x + 2 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ + 7.5x² + 12x + 2

x =

5.積分ふつう

I = ∫₀^π x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π x·cos x dx

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

7.複素数ふつう

z = 5∠−155° を直交形式 a + jb で表し、実部 a を答えてください。

r = 5θ = −155°

a =

8.複素数むずかしい

(−2 − j3)⁴ の虚部を求めてください。

z = −2 − j3n = 4

Im(z⁴) =

9.微分方程式ふつう

4 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 29 °C の部屋に出します。 13 分後の温度は 20 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 4 °CT_a = 29 °CT(13) = 20 °C

k = min⁻¹

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 3y/x = x、y(1) = −3 を解きなさい。y(3) を求めなさい。

y′ + 3y/x = xy(1) = −3

y(3) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−3 −3 5; −3 3 −2; −3 −3 1]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 4x − 5y = −8、2x − y = −5 を解きなさい。x を求めなさい。

4x − 5y = −82x − y = −5

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (6, 6, 3) と b = (k, −5, 5) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (6, 6, 3)b = (k, −5, 5)

k =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

単位ベクトル n̂ は、a = (2, −3, −2) と b = (3, 0, −3) の両方に垂直で、z 成分が正である。その x 成分 n̂_x を求めよ。

a = (2, −3, −2)b = (3, 0, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

15.確率ふつう

公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 2

P =

16.確率むずかしい

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.25 で €3、確率 0.05 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€3: p = 0.25€50: p = 0.05

E(G) = €

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：33, 20, 39, 40, 29, 26。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。103.2 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 8x = 103.2

P =

19.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 35.1 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

20.正規分布むずかしい

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.極限

答え: L = −1.667

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−5 + 1/x² + 5/x³)/(3 + 1/x² + 6/x³)

x → ∞ とする

L = −5/3 = −1.667

答え

L = −1.667

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 1.25

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

x = 0 を代入する

L = 5/4 = 1.25

答え

L = 1.25

3.微分

答え: f′(−1) = −0.5714

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

代入する

f′(−1) = −4/7 = −0.5714

答え

f′(−1) = −0.5714

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

f′(x) = 0 を解く

x = −4 または x = −1

どちらがどちらか

f″(x) = 6x + 15：極大では負、極小では正。

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = −2

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

答え

I = −2

6.積分

答え: A = 10.67

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

7.複素数

答え: a = −4.532

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 5·cos(−155°) = −4.532

b = 5·sin(−155°) = −2.113

直交形式

z = −4.532 − j2.113

a = −4.532

答え

a = −4.532

8.複素数

答え: Im(z⁴) = −120

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−2 − j3)(−2 − j3) = −5 + j12

z³ = (−5 + j12)(−2 − j3) = 46 − j9

z⁴ = (46 − j9)(−2 − j3) = −119 − j120

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 3.606∠−123.7° → z⁴ = 169∠−134.8°

Im(z⁴) = −120

答え

Im(z⁴) = −120

9.微分方程式

答え: k = 0.07859 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−13k = -9/-25

k について解く

k = ln(-25/-9)/13 = 0.07859 min⁻¹

答え

k = 0.07859 min⁻¹

10.微分方程式

答え: y(3) = 1.681

積分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

積分する

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

初期条件

−3 = 1/5 + C → C = −3.2

計算する

y(3) = (1·3⁵/5 + (−3.2))/3³ = 1.681

答え

y(3) = 1.681

11.行列と行列式

答え: det A = 72

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −3, M₁₂ = −9, M₁₃ = 18

余因子展開

det A = (−3)·(−3) − (−3)·(−9) + 5·18 = 72

答え

det A = 72

12.行列と行列式

答え: x = −2.833

係数行列の行列式

det A = 4·(−1) − (−5)·2 = 6

x の列を置き換える

det Aₓ = (−8)·(−1) − (−5)·(−5) = −17

x = −17/6 = −2.833

答え

x = −2.833

y = −0.6667

13.ベクトル：内積と外積

答え: k = 2.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積 = 0

a·b = 6·k + 6·(−5) + 3·5 = 0

−15 + 6·k = 0

k について解く

k = −(−15)/6 = 2.5

答え

k = 2.5

14.ベクトル：内積と外積

答え: n̂_x = 0.7071

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−3) − (−2)·0 = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·3 − 2·(−3) = 0

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·0 − (−3)·3 = 9

正規化する

a × b の z 成分はすでに正です。

|a × b| = √(9² + 0² + 9²) = 12.73

n̂ = (9, 0, 9)/12.73 = (0.7071, 0, 0.7071)

n̂_x = 0.7071

答え

n̂_x = 0.7071

15.確率

答え: P = 0.3056

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答え

P = 0.3056

16.確率

答え: E(G) = 2.25 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 2 (p = 0.25), 49 (p = 0.05), −1 (p = 0.7)

期待値

E(G) = 2·0.25 + 49·0.05 − 1·0.7 = 2.25 €

答え

E(G) = 2.25 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

17.記述統計

答え: s = 7.731

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 187/6 = 31.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 1.833² + (−11.17)² + 7.833² + 8.833² + (−2.167)² + (−5.167)² = 298.8

標準偏差

s = √(298.8/5) = 7.731

答え

s = 7.731

18.記述統計

答え: P = 0.6554

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答え

P = 0.6554

19.正規分布

答え: P = 0.1075

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

上側確率

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

答え

P = 0.1075

20.正規分布

答え: P = 0.7881

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

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