工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 5) とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 5)x = 1

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² − 5x + 5 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² − 5x + 5x = 1

b =

5.積分ふつう

I = ∫₂⁶ 5/x dx を計算しなさい。

f(x) = 5/x[2, 6]

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

7.複素数ふつう

z₁ = 2.5∠30°、z₂ = 2∠−25° のとき、w = z₁·z₂ の虚部を求めてください。

z₁ = 2.5∠30°z₂ = 2∠−25°

Im(w) =

8.複素数むずかしい

z³ + z² + 15z − 17 = 0 の解の 1 つは z₁ = −1 + j4 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = −1 + j4

r =

9.微分方程式ふつう

460 °C の鍛造鋼部品を 28 °C の作業場に置いて冷まします。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.03 min⁻¹ として、17 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 460 °CT_a = 28 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 17 min

T = °C

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 25.25y = 126.3 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.25) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + y′ + 25.25y = 126.3y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−3 5 1; 0 4 5; 0 3 3]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [4 −2; 8 −6]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (−1, 6, 6) と b = (−1, 2, k) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (−1, 6, 6)b = (−1, 2, k)

k =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

単位ベクトル n̂ は、a = (−5, 5, −4) と b = (0, 5, 1) の両方に垂直で、z 成分が正である。その y 成分 n̂_y を求めよ。

a = (−5, 5, −4)b = (0, 5, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.確率ふつう

公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 8

P =

16.確率むずかしい

部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.3 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 12p = 0.3

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 26, 31, 16, 33, 11, 60。

n = 7

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。78 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 8x = 78

P =

19.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。250.25 から 254 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 250.25x₂ = 254

P =

20.正規分布むずかしい

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.04979

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 3·(−1) = −3

対数をもとに戻す

L = e⁻³ = 0.04979

答え

L = 0.04979

2.極限

答え: L = 4.5

1 回目の適用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

9·e^3x/2

x = 0 を代入する

L = 9·1/2 = 4.5

答え

L = 4.5

3.微分

答え: f′(1) = 0.3333

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 5)

代入する

f′(1) = 2/6 = 0.3333

答え

f′(1) = 0.3333

4.微分

答え: b = 2

接点と傾き

f(1) = 3

f′(x) = 6x − 5 → f′(1) = 1

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − 1·1 = 2

答え

b = 2

5.積分

答え: I = 5.493

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = 5·ln x

上端と下端を代入する

I = 5·(ln 6 − ln 2) = 5·ln 3 = 5.493

答え

I = 5.493

6.積分

答え: A = 1.333

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

7.複素数

答え: Im(w) = 0.4358

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 2.5 · 2 = 5

θ = 30° + (−25)° = 5°

直交形式

Re(w) = 5·cos(5°) = 4.981

Im(w) = 5·sin(5°) = 0.4358

Im(w) = 0.4358

答え

Im(w) = 0.4358

8.複素数

答え: r = 1

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = −1 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 4²) = z² + 2z + 17

2 次式でくくり出す

z³ + z² + 15z − 17 = (z² + 2z + 17)(z − 1)

実数の解

r = 1

答え

r = 1

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = −2 + 1 = −1 = −(1)。

9.微分方程式

答え: T = 287.4 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 28 + 432·e^−0.03t

t を代入する

T(17) = 28 + 432·0.6005 = 287.4 °C

答え

T = 287.4 °C

10.微分方程式

答え: y(0.25) = 3.19

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

y_ss = 5, r = −0.5 ± 5j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0.5A + 5B = 0 → B = −0.5

計算する

y(0.25) = 5·(1 − e^−0.125(cos 1.25 + 0.1·sin 1.25)) = 3.19

答え

y(0.25) = 3.19

11.行列と行列式

答え: det A = 9

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −3, M₁₂ = 0, M₁₃ = 0

余因子展開

det A = (−3)·(−3) − 5·0 + 1·0 = 9

答え

det A = 9

12.行列と行列式

答え: λ = 2

固有方程式

λ² − (−2)λ + (−8) = 0

解く

λ = (−2 ± √(36))/2 → λ = −4, 2

λ = 2

答え

λ = 2

13.ベクトル：内積と外積

答え: k = −2.167

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

内積 = 0

a·b = (−1)·(−1) + 6·2 + 6·k = 0

13 + 6·k = 0

k について解く

k = −13/6 = −2.167

答え

k = −2.167

14.ベクトル：内積と外積

答え: n̂_y = −0.14

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·1 − (−4)·5 = 25

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·0 − (−5)·1 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·5 − 5·0 = −25

正規化する

a × b の z 成分は負なので、−(a × b) を使います。

|a × b| = √(25² + 5² + (−25)²) = 35.71

n̂ = −(25, 5, −25)/35.71 = (−0.7001, −0.14, 0.7001)

n̂_y = −0.14

答え

n̂_y = −0.14

15.確率

答え: P = 0.7674

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答え

P = 0.7674

16.確率

答え: P = 0.08503

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

足し合わせる

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答え

P = 0.08503

17.記述統計

答え: s = 17.36

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 226/7 = 32.29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 16.71² + (−6.286)² + (−1.286)² + (−16.29)² + 0.7143² + (−21.29)² + 27.71² = 1807

標準偏差

s = √(1807/6) = 17.36

答え

s = 17.36

18.記述統計

答え: P = 0.8413

標準化する

z = 1

標準正規分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答え

P = 0.8413

19.正規分布

答え: P = 0.2682

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05

z₂ = (254 − 250)/5 = 0.8

間の面積

P = Φ(0.8) − Φ(0.05) = 0.7881 − 0.5199 = 0.2682

答え

P = 0.2682

20.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

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