工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−3x³ + 3x − 6)/(3x³ + x + 8) を求めなさい。

f(x) = (−3x³ + 3x − 6)/(3x³ + x + 8)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x³·e^2x とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = x³·e^2xx = 1

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 5 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 5

x =

5.積分ふつう

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

7.複素数ふつう

z = 2.5∠25° を直交形式 a + jb で表し、虚部 b を答えてください。

r = 2.5θ = 25°

b =

8.複素数むずかしい

(−2 + j2)⁴ の実部を求めてください。

z = −2 + j2n = 4

Re(z⁴) =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = -4 として y″ + 3y′ + 2y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 2y′(0) = -4

y(1.5) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 27.25y = 54.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 27.25y = 54.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₁₂（第 1 行、第 2 列）を求めなさい。

A = [−1 1; 3 −4]B = [−6 0; −6 −5]

c₁₂ =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [1 −3; 4 8]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (7, 3, −6) の b = (−1, −4, −1) 上へのスカラー射影 comp_b a、つまり a の b 方向の成分を求めよ。

a = (7, 3, −6)b = (−1, −4, −1)

comp_b a =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(−1, 2, −1)、B(4, −4, 4)、C(4, 2, 3) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−1, 2, −1)B(4, −4, 4)C(4, 2, 3)

A = m²

15.確率ふつう

公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 7

P =

16.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.6k = 1

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：11, 45, 21, 12, 19, 25。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。90 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 10x = 90

z =

19.正規分布ふつう

箱の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 70 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6< 70 kg

P =

20.正規分布むずかしい

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = −1

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−3 + 3/x² + (−6)/x³)/(3 + 1/x² + 8/x³)

x → ∞ とする

L = −3/3 = −1

答え

L = −1

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 0.3333

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

x = 0 を代入する

L = 1/3 = 0.3333

答え

L = 0.3333

3.微分

答え: f′(1) = 36.95

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

代入する

f′(1) = 7.389·(3 + 2) = 36.95

答え

f′(1) = 36.95

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 3

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

答え

x = −1

5.積分

答え: I = 41.33

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

積分して代入する

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

答え

I = 41.33

6.積分

答え: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

7.複素数

答え: b = 1.057

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 2.5·cos(25°) = 2.266

b = 2.5·sin(25°) = 1.057

直交形式

z = 2.266 + j1.057

b = 1.057

答え

b = 1.057

8.複素数

答え: Re(z⁴) = −64

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−2 + j2)(−2 + j2) = −j8

z³ = (−j8)(−2 + j2) = 16 + j16

z⁴ = (16 + j16)(−2 + j2) = −64

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 2.828∠135° → z⁴ = 64∠180°

Re(z⁴) = −64

答え

Re(z⁴) = −64

9.微分方程式

答え: y(1.5) = 0.09957

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

初期値から求める定数

A + B = 2, −1A − 2B = -4

A = 0, B = 2

計算する

y(1.5) = 0·e^−1.5 + 2·e⁻³ = 0.09957

答え

y(1.5) = 0.09957

10.微分方程式

答え: y(0.75) = 2.644

定常値と根

y_ss = 2, r = −1.5 ± 5j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1.5A + 5B = 0 → B = −0.6

計算する

y(0.75) = 2·(1 − e^−1.125(cos 3.75 + 0.3·sin 3.75)) = 2.644

答え

y(0.75) = 2.644

11.行列と行列式

答え: c₁₂ = −5

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₁₂ = (−1)·0 + 1·(−5) = −5

答え

c₁₂ = −5

12.行列と行列式

答え: λ = 5

固有方程式

λ² − (9)λ + (20) = 0

解く

λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5

λ = 5

答え

λ = 5

13.ベクトル：内積と外積

答え: comp_b a = −3.064

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積

a·b = 7·(−1) + 3·(−4) + (−6)·(−1) = −13

b の長さ

|b| = √((−1)² + (−4)² + (−1)²) = 4.243

スカラー射影

comp_b a = a·b/|b| = −13/4.243 = −3.064

答え

comp_b a = −3.064

負：a には b と逆向きの成分があります。

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 19.37 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

辺ベクトル

AB = B − A = (5, −6, 5)

AC = C − A = (5, 0, 4)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−6)·4 − 5·0 = −24

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·5 − 5·4 = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 5·0 − (−6)·5 = 30

|AB × AC| = √((−24)² + 5² + 30²) = 38.74

三角形の面積

A = ½·38.74 = 19.37 m²

答え

A = 19.37 m²

15.確率

答え: P = 0.7209

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答え

P = 0.7209

16.確率

答え: P = 0.0006921

二項分布の公式

P(X = 1) = 11·0.6¹·0.4¹⁰ = 11·0.6·0.0001049 = 0.0006921

答え

P = 0.0006921

17.記述統計

答え: s = 12.4

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 133/6 = 22.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−11.17)² + 22.83² + (−1.167)² + (−10.17)² + (−3.167)² + 2.833² = 768.8

標準偏差

s = √(768.8/5) = 12.4

答え

s = 12.4

18.記述統計

答え: z = 2

標準化する

z = (90 − 70)/10 = 2

答え

z = 2

19.正規分布

答え: P = 0.1539

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 72 kg, σ_T = 0.8·√6 = 1.96 kg

標準化する

z = (70 − 72)/1.96 = −1.02

確率

P = Φ(−1.02) = 0.1539

答え

P = 0.1539

20.正規分布

答え: P = 0.7389

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389

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