公式集、全トピックの解法の要点、40 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
A と B の間の電圧源 Vₛ は + 端子が B にあるので、VB − VA = Vₛ となります。 スーパーノードを用いた節点解析で 節点電圧 VB（接地基準） を求めよ。
A と B の間の電圧源 Vₛ は + 端子が A にあるので、VA − VB = Vₛ となります。 スーパーノードを用いた節点解析で、矢印のとおり A から B へ電圧源を流れる電流 Ix を求めよ。
網目解析を使って 矢印の向きに R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
網目解析を使って 網目電流 I2（時計回り） を求めよ。
R3 を流れる電流 IR3 を 0 にする電流源 Is（向きは図のとおり）の値を求めよ。
重ね合わせの理を使って 図の極性での R2 の両端電圧 VR2 を求めよ。
a–b 間に負荷 RL = 8 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。
端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 2 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
タイマーが t = 0 に、9 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 8.1 V に達したとき、開始からちょうど 250 ms 後に作動しなければならない。 C = 2.2 µF のとき、必要な抵抗 R を求めよ。
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 16.5 A と 2376 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。
単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.6 で 4 kW を消費する。68 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
三相誘導電動機が全負荷で 11 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.86 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 IL を求めよ。
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
巻数比 N₁:N₂ = 5:1 の理想変圧器の一次巻線に 1200 V を加える。二次巻線に 40 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。
単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 1000 W、定格負荷での銅損は 1500 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R3 = R1、R4 = R2 である。 出力電圧 Vout を求めよ。
加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。
9.1 V のツェナーレギュレータに 100 Ω を通して 12 V を加え、1000 Ω の負荷に供給します。ツェナー電流 IZ を求めなさい。
ダイオードを、0.65 V と 25 Ω の直列（0.65 V 以上で導通）としてモデル化します。これを 150 Ω の抵抗と直列にして 5 V の電源につなぎます。ダイオードの直線が負荷線と交わる動作電流 ID を求めなさい。
8 ビットのパターン 1011 1111 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？
あるシステムで、3846 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？
カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(0, 5, 7) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？
4 ビットのリングカウンタ Q₃Q₂Q₁Q₀ は 1010 から始まります。クロックエッジごとにビットは 1 つ右へシフトし（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀）、Q₃ には Q₀ が入ります。7 クロックエッジのあとの状態 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ を 10 進数で答えてください。
F(s) = (3s + 4)/(s² + 4s + 20) の f(t) を平方完成によって求め、f(0.6) を計算せよ。
ラプラス変換を用いて、y(0) = −10、y′(0) = 14 の条件で y″ + 9y′ + 20y = 0 を解き、y(0.2) を求めよ。
プラント G(s) = K/(s(s + 13)) を単位負帰還ループに入れる。閉ループが臨界減衰（等しい 2 つの実数極）になるゲイン K を求めよ。
G₁ = 17/(s + 2)、G₂ = 6/(s + 6)、G₂ の周りの内側の負帰還 H₁ = 0.5、外側の負帰還 H₂ = 0.25 のブロック線図を簡単にせよ。C(s)/R(s) の直流ゲイン T(0) を求めよ。
ある系の伝達関数は G(s) = 44/(s² + 8s + 88) で、単位ステップ入力を受ける。 極は s = σ ± jωd である。その実部 σ を求めよ。
零点をもたない 2 次系のステップ応答で、オーバーシュートは 50 % で、最初のピークは t = 1 s に現れる。固有角周波数 ωn を求めよ。
図の RC ハイパスフィルタ は R = 10 kΩ, C = 2.2 nF です。1.8 kHz の正弦波入力が加えられます。 ゲイン |H| = |vout/vin| を dB で求めよ。
ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 230/(s(s + 3)(s + 9)) である。 ∠L(jω) = −180° となる位相交差周波数 ω180 を求めよ。
単位フィードバックのループで L(s) = K(s + 9)/(s(s + 2)(s + 3))、K > 0 です。閉ループが安定となる最大のゲイン Kmax を求めなさい。
L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 6)) の根軌跡を描きました。軌跡が虚軸と交わる周波数 ω を求めなさい。
ランプ入力 r(t) = 3t が、G(s) = 4/(s(s + 1)(s + 5)) の単位フィードバックのループに加えられます。定常偏差 ess を求めなさい。
PD 制御器 C(s) = 25 + Kd·s が、単位フィードバックのループで制御対象 G(s) = 2/(s(s + 1)) を制御しています。閉ループの減衰比を ζ = 0.8 にする微分ゲイン Kd を求めなさい。
答え: IR2 = 1.071 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
答え: IR2 = 1.946 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
答え: VB = 12.31 V
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
A と B の間の電圧源には未知の電流が流れるので、A と B で別々に KCL を立てることはできません。A、B と電源を 1 つのスーパーノードで囲みます：流れ込む電流は流れ出る電流に等しくなります。
答え: Ix = −0.25 A
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
A と B の間の電圧源には未知の電流が流れるので、A と B で別々に KCL を立てることはできません。A、B と電源を 1 つのスーパーノードで囲みます：流れ込む電流は流れ出る電流に等しくなります。
節点 A だけの KCL：R₁ を通って流れ込む電流は、R₂ と電圧源を通って流れ出ます。
結果が負なら、実際の電流は矢印と逆向きに流れています。
答え: IR2 = 0.0625 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: I2 = 0.6577 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2, I3。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: Is = 2.206 A
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
Iₛ は開放になるので、R₃ と R₄ は A から接地への 1 本の直列枝となり、R₂ と並列になります。
V₁ は短絡になるので、R₁ ∥ R₂ が A から接地につながります。Iₛ は B で R₄ と経路 R₃ + R₁∥R₂ に分かれ、R₃ を流れる部分は矢印と逆向きに B から A へ流れます。
答え: VR2 = −14.04 V
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
V₂ は短絡、Iₛ は開放になります。A から見ると、R₃ は直列の R₂+R₄ と並列です。
2 つの電圧源はどちらも短絡になります。Iₛ は B で R₄（今は接地へ）と、R₁ ∥ R₃ と直列の R₂ に分かれます。
V₁ は短絡、Iₛ は開放になります。R₁ ∥ R₃ が A につながり、R₂ と直列に B へ戻ります。
結果が負なら、実際には極性は表示と逆であるということです。
答え: IL = 0.2913 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
答え: Vth = 110 V
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
答え: vL = 2.976 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
答え: R = 49.35 kΩ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
kΩ × µF でミリ秒になります。
答え: I = 0.2129 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
答え: VL = 1.631 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
これは電源電圧の Q = 1.631 倍です。
答え: R = 8.727 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
答え: cos φ = 0.9019
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
答え: IL = 12.16 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
答え: Cph = 3483 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
答え: I1 = 1.2 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。
確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 1000 Ω で、1200/1000 からも同じ電流が得られます。
答え: Sη,max = 163.3 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
答え: Vout = −1.489 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。
答え: Vout = 0.604 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。
答え: IZ = 19.9 mA
ツェナーレギュレータ：逆バイアスされたツェナーダイオードは、電流が最小値 IZ,min を上回っている限り、電圧 VZ を保ちます。直列抵抗 R が入力と出力の差を受け持ちます：IR = (Vin − VZ)/R。この電流は負荷 IL = VZ/RL とツェナー IZ = IR − IL に分かれます。最悪の場合を想定して設計します：入力が最低で負荷が最大のときでも IZ,min が残らなければならず、入力が最高で無負荷のときにツェナーの電力 PZ = VZ·IZ が最大になります。
答え: ID = 24.86 mA
LED とダイオードの回路：順方向にバイアスされた LED は、電流によらずおよそ順方向電圧 VF（赤で約 2 V、青や白で約 3 V）だけ電圧降下します。直列抵抗が電流を決めます：n 個の LED を直列にしたとき R = (Vs − n·VF)/I。より正確なダイオードのモデル V = V₀ + I·rd では、動作点はダイオードの直線と負荷線 I = (Vs − V)/R の交点にあり、I = (Vs − V₀)/(R + rd) となります。
答え: N = −65
位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。
ほかのビットは通常の正の重みのままです。
答え: b = 12 bit
位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。
答え: L = 5
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。
答え: Q = 5
フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は fclk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。
答え: f(0.6) = −0.768
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
答え: y(0.2) = −6.611
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
検算：y(0) = A + B = −10。
答え: K = 42.25
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
2 次式 s² + βs + γ は、β² = 4γ のとき重根をもちます。
答え: T(0) = 2.345
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
答え: σ = −4
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
分母は s² + 2ζωₙs + ωₙ² と一致しなければなりません。
答え: ωn = 3.217 rad/s
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
答え: |H| = −12.34 dB
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: ω180 = 5.196 rad/s
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: Kmax = 7.5
ラウス・フルビッツの安定判別法：線形システムは、特性多項式のすべての根が s 平面の左半平面にあるとき安定です。係数を交互にラウス表の最初の 2 行に書き入れます。新しい行の各要素は、その上の 2 行から求めます。3 次式 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ では、s¹ の要素は b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ です。第 1 列の符号変化の回数は、右半平面にある根の個数に等しくなります。係数にゲイン K が含まれるときは、第 1 列のすべての要素が正でなければなりません。s¹ の要素が 0 になるゲインが安定限界で、そのときの s² の行から持続振動の周波数が求まります。
零点が s = −5 より右にあれば、ループはすべての K > 0 で安定のままです。
答え: ω = 5.831 rad/s
根軌跡：ゲイン K を 0 から ∞ まで変えると、閉ループ極、すなわち 1 + K·G(s) = 0 の根は、開ループ極から開ループ零点または無限遠へ移動します。実軸上の点は、その右側にある実極と実零点の個数の合計が奇数のとき、軌跡に属します。無限遠へ向かう n − m 本の枝は、重心 σₐ = (極の和 − 零点の和)/(n − m) から出る漸近線に沿い、その角度は (2q + 1)·180°/(n − m) です。枝は dK/ds = 0 となる点で実軸から離れたり、実軸に合流したりします。角度条件 ∠G(s) = 180° が形を決め、大きさの条件 K = 1/|G(s)| が軌跡上の任意の点でのゲインを与えます。
答え: ess = 3.75
定常偏差：開ループ伝達関数 G(s) をもつ単位フィードバックのループでは、偏差は E(s) = R(s)/(1 + G(s)) で、最終値の定理により ess = lims→0 s·E(s) です。システムの型は、G(s) の s = 0 にある極の個数です。偏差定数は Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s)、Ka = lim s²·G(s) で、いずれも s → 0 の極限です。大きさ A のステップ入力では ess = A/(1 + Kp)、ランプ入力 A·t では A/Kv、放物線入力 A·t²/2 では A/Ka になります。0 型のループはステップ入力に有限の偏差で追従し、1 型のループはステップ入力に偏差なく追従し、ランプ入力には有限の偏差で追従します。
答え: Kd = 5.157 s
P 制御、PI 制御、PID 制御：制御器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s は偏差に作用します。比例ゲインはループを速くし、0 型の制御対象の偏差を小さくしますが、なくすことはできません。積分項は s = 0 に極を加えます：システムの型が 1 つ上がり、ステップ入力に偏差なく追従します。微分項は減衰を加えます。ゲインを決めるには、閉ループの特性多項式を書き、s² + 2ζωns + ωn² と比較します。すると %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、tp = π/ωd（ωd = ωn√(1 − ζ²)）、ts ≈ 4/(ζωn) となります。
微分項は、ωₙ を変えずに減衰を加えます。
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