公式集、全トピックの解法の要点、40 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
節点解析を使って 節点電圧 VA（接地基準） を求めよ。
節点解析を使って 矢印の向きに R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
網目解析を使って 網目電流 I1（時計回り） を求めよ。
網目解析を使って 矢印の向きに R5 を流れる電流 IR5 を求めよ。
線形抵抗回路に 1 つの電圧源 Vs と 1 つの電流源 Is がある。負荷抵抗を流れる電流 I を 2 回測定した：Vs = 12 V、Is = 3 mA のとき I = 12.15 mA、Vs = 5 V、Is = 6 mA のとき I = 1.5 mA。Vs = 10 V、Is = 8 mA のときの負荷電流 I を求めよ。
R3 を流れる電流 IR3 を 0 にする電圧源 V2（極性は図のとおり）の値を求めよ。
a–b 間に負荷 RL = 4 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。
端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。
タイマーが t = 0 に、9 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 5.69 V に達したとき、開始からちょうど 250 ms 後に作動しなければならない。 R = 10 kΩ のとき、必要な静電容量 C を求めよ。
直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
直列 RLC 回路の R = 5 Ω、L = 200 mH、C = 0.47 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。
誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 6 A と 432 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。
単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.8 で 16 kW を消費する。68 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
三相誘導電動機が全負荷で 75 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 93%、力率は遅れ 0.82 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 IL を求めよ。
平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
出力抵抗 90 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 10 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 90 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 1000 W、定格負荷での銅損は 2500 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力は ±13 V で飽和する。 反転増幅器を正弦波で駆動する。出力がクリップしない最大の入力振幅 Vin,max（最大値）を求めよ。
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 抵抗の比はそろっていない。出力電圧 Vout を求めよ。
β = 200 の NPN トランジスタが、電源 VCC = 12 V からベース抵抗 RB = 1000 kΩ でバイアスされている。コレクタ抵抗は RC = 1.5 kΩ で、エミッタは接地されている。VBE = 0.7 V とし、トランジスタは活性領域にあると仮定する。 コレクタ電流 IC を mA で求めよ。
β = 50 の NPN トランジスタが、VCC = 12 V とコレクタの間に接続された 470 Ω の負荷抵抗をスイッチングする。エミッタは接地されている。ベースは 5 V のロジック出力からベース抵抗 RB を通して駆動される。VBE = 0.7 V、VCE(sat) = 0.2 V とする。 トランジスタをちょうど飽和させることのできる最大のベース抵抗 RB を kΩ で求めよ。
8 ビットの 2 の補数で −117 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？
ビットを 0011 1101 AND 1011 1001 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？
カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？
d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 7, 9, 12) + d(2, 8, 13, 15) の最小の SOP 形を求めてください。リテラル L はいくつ含まれますか？
F(s) = 55/(s(s + 1)(s + 4)) の f(t) を部分分数展開で求め、f(1.5) を計算せよ。
ラプラス変換を用いて、y(0) = 4、y′(0) = −11 の条件で y″ + 4y′ + 3y = 0 を解き、y(1) を求めよ。
プラント G(s) = 35/(s + 5) を、センサのゲインが H = 2 の負帰還ループで制御する。 R に大きさ 1 のステップを加える。定常出力 css を求めよ。
G₁ = 19/(s + 2)、G₂ = 5/(s + 3)、G₂ の周りの内側の負帰還 H₁ = 4、外側の負帰還 H₂ = 0.25 のブロック線図を簡単にせよ。C(s)/R(s) の直流ゲイン T(0) を求めよ。
ある系の伝達関数は G(s) = 148/(s² + 3s + 74) で、単位ステップ入力を受ける。 ステップ応答のピーク時間 tp を求めよ。
R = 253 Ω、L = 200 mH、C = 2 µF の直列 RLC 回路に、t = 0 で 5 V のステップを加える。コンデンサは充電されておらず、ステップの前には電流は流れていない。 コンデンサ電圧のオーバーシュート率 %OS を求めよ。
ω = 10 rad/s における G(s) = 42(s + 18)/(s(s + 4)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。
ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 30/(s(s + 2)(s + 4)) である。 ゲイン余裕 GM を dB で求めよ。
制御対象 G(s) = (s + 4)/((s − 2)(s + 3)) は s = 2 に不安定な極をもちます。比例ゲイン K で、その周りに単位フィードバックのループを組みます。閉ループが安定になる最小のゲイン Kmin を求めなさい。
単位フィードバックのループで L(s) = K(s + 10)/(s(s + 3)(s + 8)) です。根軌跡の漸近線が実軸と交わる点 σa を求めなさい。
G(s) = K/(s(s + 1)) の単位フィードバックのループが、ランプ入力 r(t) = 10t に定常偏差 0.02 で追従しなければなりません。ゲイン K を求めなさい。
比例制御器 K = 5 が、単位フィードバックのループで制御対象 G(s) = 5/(s(s + 8)) を制御しています。 ステップ応答のピーク時間 tp を求めよ。
答え: Req = 24.12 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
答え: Req = 12.75 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
答え: VA = 9.355 V
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V1 = 18 V）。未知数：VA, VB。
抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。
抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。
答え: IR2 = −0.6933 A
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V1 = 12 V, V2 = 30 V）。未知数：VA, VB。
抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。
抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。
答え: I1 = 1.781 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: IR5 = 0.3775 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2, I3。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: I = 6 mA
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
各寄与はそれぞれの電源に比例し、その定数は抵抗だけで決まります。
答え: V2 = 31.2 V
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
V₂ は短絡、Iₛ は開放になります。A から見ると、R₃ は直列の R₂+R₄ と並列です。
2 つの電圧源はどちらも短絡になります。Iₛ は B で R₄（今は接地へ）と、R₁ ∥ R₃ と直列の R₂ に分かれます。 Iₛ の矢印は下向きでその節点から離れているので、Iₛ はその節点から電流を引き出します：その項はマイナス符号で入ります。
V₁ は短絡、Iₛ は開放になります。R₁ ∥ R₃ が A につながり、R₂ と直列に B へ戻ります。
VA = 0 のとき R₃ の両端に電圧がないので、その電流は 0 です。
答え: IL = 0.08451 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
答え: Vth = 107.3 V
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
答え: W(∞) = 0.7469 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
答え: C = 24.99 µF
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
kΩ × µF でミリ秒になります。
答え: φ = −84.82 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
答え: B = 3.979 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
答え: R = 12 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
答え: cos φ = 0.8296
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
答え: IL = 118.3 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
答え: Cph = 1259 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
答え: a = 3
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
答え: Sη,max = 126.5 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
答え: Vin,max = 1.3 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
答え: Vout = 0.3533 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。
答え: IC = 2.26 mA
BJT の動作点：活性領域では VBE = 0.7 V、IC = β·IB、IE = (β + 1)·IB です。ベース側の閉路に KVL を適用して IB を求め、次に IC、さらにコレクタ–エミッタ側の閉路から VCE を求めます。ベースの分圧回路はテブナン等価回路 VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)、RTH = R₁∥R₂ に置き換えます。エミッタ抵抗はベース側の閉路では (β + 1) 倍の大きさに見えます。
確認：VCE = 8.61 V は 0.2 V より十分大きいので、トランジスタは確かに活性領域にあります。
答え: RB = 8.564 kΩ
スイッチとしての BJT：負荷を完全にオンにするには、トランジスタを飽和させます。飽和では VCE = VCE(sat) となり、コレクタ電流は負荷で決まります：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。飽和させるには少なくとも IB = IC(sat)/β が必要です。ベース電流がこれより小さければ、トランジスタは活性領域のままで IC = β·IB です。
これより小さいベース抵抗でもトランジスタは飽和します。実際には数分の 1 の値を選びます。
答え: U = 139
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
答え: R = 57
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
AND は、両方のビットが 1 のところだけ 1 になります。
答え: N = 2
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。
答え: L = 7
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
1 と X からつくれる最大のグループ。
答え: f(1.5) = 9.671
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
答え: y(1) = 0.3582
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
検算：y(0) = A + B = 4。
答え: css = 0.4667
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
答え: T(0) = 1.362
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
答え: tp = 0.3709 s
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
分母は s² + 2ζωₙs + ωₙ² と一致しなければなりません。
答え: %OS = 25.38 %
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
答え: ∠G(jω) = −129.1 °
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: GM = 4.082 dB
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: Kmin = 1.5
ラウス・フルビッツの安定判別法：線形システムは、特性多項式のすべての根が s 平面の左半平面にあるとき安定です。係数を交互にラウス表の最初の 2 行に書き入れます。新しい行の各要素は、その上の 2 行から求めます。3 次式 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ では、s¹ の要素は b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ です。第 1 列の符号変化の回数は、右半平面にある根の個数に等しくなります。係数にゲイン K が含まれるときは、第 1 列のすべての要素が正でなければなりません。s¹ の要素が 0 になるゲインが安定限界で、そのときの s² の行から持続振動の周波数が求まります。
s² + c₁s + c₀ のすべての根が左半平面にあるのは、c₁ > 0 かつ c₀ > 0 のときに限ります。
答え: σa = −0.5
根軌跡：ゲイン K を 0 から ∞ まで変えると、閉ループ極、すなわち 1 + K·G(s) = 0 の根は、開ループ極から開ループ零点または無限遠へ移動します。実軸上の点は、その右側にある実極と実零点の個数の合計が奇数のとき、軌跡に属します。無限遠へ向かう n − m 本の枝は、重心 σₐ = (極の和 − 零点の和)/(n − m) から出る漸近線に沿い、その角度は (2q + 1)·180°/(n − m) です。枝は dK/ds = 0 となる点で実軸から離れたり、実軸に合流したりします。角度条件 ∠G(s) = 180° が形を決め、大きさの条件 K = 1/|G(s)| が軌跡上の任意の点でのゲインを与えます。
2 本の漸近線は、重心から 90°, 270° の角度で出ています。
答え: K = 500
定常偏差：開ループ伝達関数 G(s) をもつ単位フィードバックのループでは、偏差は E(s) = R(s)/(1 + G(s)) で、最終値の定理により ess = lims→0 s·E(s) です。システムの型は、G(s) の s = 0 にある極の個数です。偏差定数は Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s)、Ka = lim s²·G(s) で、いずれも s → 0 の極限です。大きさ A のステップ入力では ess = A/(1 + Kp)、ランプ入力 A·t では A/Kv、放物線入力 A·t²/2 では A/Ka になります。0 型のループはステップ入力に有限の偏差で追従し、1 型のループはステップ入力に偏差なく追従し、ランプ入力には有限の偏差で追従します。
ゲインを大きくすると、このループの減衰は非常に小さくなります：ζ = 0.02236。この両立の難しさが、補償器を使う理由です。
答え: tp = 1.047 s
P 制御、PI 制御、PID 制御：制御器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s は偏差に作用します。比例ゲインはループを速くし、0 型の制御対象の偏差を小さくしますが、なくすことはできません。積分項は s = 0 に極を加えます：システムの型が 1 つ上がり、ステップ入力に偏差なく追従します。微分項は減衰を加えます。ゲインを決めるには、閉ループの特性多項式を書き、s² + 2ζωns + ωn² と比較します。すると %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、tp = π/ωd（ωd = ωn√(1 − ζ²)）、ts ≈ 4/(ζωn) となります。
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