公式集、全トピックの解法の要点、40 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
節点解析を使って 節点電圧 VB（接地基準） を求めよ。
ひし形は電圧制御電流源で、0.5·VA（VA を V で表したとき A 単位）の電流を節点 B に上向きに押し込む。節点解析を使って 節点電圧 VA（接地基準） を求めよ。
網目解析を使って 網目電流 I2（時計回り） を求めよ。
網目解析を使って 矢印の向きに R5 を流れる電流 IR5 を求めよ。
線形抵抗回路に 1 つの電圧源 Vs と 1 つの電流源 Is がある。負荷抵抗を流れる電流 I を 2 回測定した：Vs = 4 V、Is = 6 mA のとき I = 4.8 mA、Vs = 5 V、Is = 3 mA のとき I = 4.2 mA。Vs = 4 V、Is = 4 mA のときの負荷電流 I を求めよ。
R3 を流れる電流 IR3 を 0 にする電圧源 V2（極性は図のとおり）の値を求めよ。
端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。
ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。
コイルには 0.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms での R の両端電圧 vR を求めよ。
R2 の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 2.88 A に達するか。t を求めよ。
抵抗とコイルが並列に、12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。
インピーダンス Z = 24 + j7 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する有効電力 P を求めよ。
24 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 50 + j10 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 最大電力を得る負荷を、抵抗とコンデンサの直列回路でつくる。静電容量 C を求めよ。
1 相あたりのインピーダンスが 18 + j24 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
出力抵抗 7200 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 50 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 7200 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 1250 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 99% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
この非反転増幅器の電圧利得を 3 にする帰還抵抗 Rf を選べ。
積分器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、出力は ±13 V で飽和する。t = 0 に一定の入力 Vin = −1.6 V が加えられたとき、コンデンサは充電されていない。 t = 1 ms での出力電圧 Vout を求めよ。
6.2 V のツェナーレギュレータに 680 Ω を通して 12 V を加え、1000 Ω の負荷に供給します。ツェナー電流 IZ を求めなさい。
β = 200 の NPN トランジスタが、VCC = 24 V とコレクタの間に接続された 100 Ω の負荷抵抗をスイッチングする。エミッタは接地されている。ベースは 5 V のロジック出力からベース抵抗 RB を通して駆動される。VBE = 0.7 V、VCE(sat) = 0.2 V とする。 トランジスタをちょうど飽和させることのできる最大のベース抵抗 RB を kΩ で求めよ。
8 ビットの 2 の補数で −75 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？
ビットを 1000 1100 OR 1000 1111 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？
このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。
d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 10, 11, 12, 14) + d(0, 8, 15) について、必須主項の個数 N を求めてください。
F(s) = (4s + 40)/(s² + 8s + 16) の f(t) を求め、f(0.5) を計算せよ。
ある系が微分方程式 y″ + 5y′ + 4y = 3u で表される（入力 u(t)、出力 y(t)）。その伝達関数 G(s) = Y(s)/U(s)（初期条件はゼロ）を求め、t = 0.75 s におけるインパルス応答 g(t) を計算せよ。g(0.75) を求めよ。
プラント G(s) = 3/(s + 8) には、ゲイン H₁ = 4 の内側（マイナー）の負帰還ループがある。コントローラのゲイン K = 7 と外側の単位負帰還ループで系が閉じられる。 閉ループの直流ゲイン T(0) を求めよ。
G₁ = 11/(s + 2)、G₂ = 7/(s + 4)、G₂ の周りの内側の負帰還 H₁ = 1、外側の負帰還 H₂ = 0.5 のブロック線図を簡単にせよ。C(s)/R(s) の直流ゲイン T(0) を求めよ。
ある系の伝達関数は G(s) = 15/(s² + s + 5) で、単位ステップ入力を受ける。 ts ≈ 4/(ζωₙ) を用いて、ステップ応答の 2 % 整定時間 ts を求めよ。
単位負帰還ループの G(s) = 95/(s(s + 12)) である。ts ≈ 4/(ζωₙ) を用いて、閉ループのステップ応答の 2 % 整定時間 ts を求めよ。
ω = 5 rad/s における G(s) = 2736/((s + 12)(s + 19)) の正確な大きさ |G(jω)| を dB で求めよ。
ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6)) である。 ゲイン余裕が 6 dB となるゲイン K を求めよ。
図のループは負帰還で、L(s) = 1344/(s(s + 6)(s + 8)) です。右半平面にある閉ループ極の個数 N はいくつですか。
L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2)) の根軌跡は、s = 0 と s = −1 の間で実軸から離れます。分岐点 sb を求めなさい。
単位フィードバックのループで G(s) = K/((s + 1)(s + 4)) です。ステップ入力に対する定常偏差が 25 % となるゲイン K を求めなさい。
PI 制御器 C(s) = 5 + 1/s が、単位フィードバックのループで制御対象 G(s) = 4/((s + 5)(s + 10)) を制御しています。ランプ入力 r(t) = 1t に対する定常偏差 ess を求めなさい。
答え: Req = 7 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
答え: Req = 27.34 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
答え: VB = 15 V
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V1 = 30 V）。未知数：VA, VB。
抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。
抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。
答え: VA = 4.138 V
節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。
抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に押し込む電流に等しくなります。
従属電源は g·VA を節点 B に押し込みます。独立電源と同じように扱い、VA の項を左辺に移しましょう。
答え: I2 = −0.1154 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: IR5 = 1.157 A
網目解析：平面回路の各窓に独自のループ電流を与え、各ループでキルヒホッフの電圧則（電圧降下の和 = 電圧上昇の和）を立てて解きます。枝電流は網目電流、または共通枝では 2 つの網目電流の差です。
各窓に時計回りの電流を描きます：I1, I2, I3。2 つの網目に共通な抵抗には、両者の電流の差が流れます。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
時計回りにたどると、抵抗の電圧降下の和は電源の電圧上昇の和に等しくなります（進む向きに − から +）。
負の網目電流は反時計回りに流れます。
答え: I = 4 mA
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
各寄与はそれぞれの電源に比例し、その定数は抵抗だけで決まります。
答え: V2 = 3.7 V
重ね合わせの理：線形回路では、任意の電圧・電流は各独立電源が単独で働いたときの応答の和になります。電源を止めるには、理想電圧源を短絡に、理想電流源を開放に置き換えます。抵抗はそのままです。
V₂ は短絡、Iₛ は開放になります。A から見ると、R₃ は直列の R₂+R₄ と並列です。
2 つの電圧源はどちらも短絡になります。Iₛ は B で R₄（今は接地へ）と、R₁ ∥ R₃ と直列の R₂ に分かれます。 Iₛ の矢印は下向きでその節点から離れているので、Iₛ はその節点から電流を引き出します：その項はマイナス符号で入ります。
V₁ は短絡、Iₛ は開放になります。R₁ ∥ R₃ が A につながり、R₂ と直列に B へ戻ります。
VA = 0 のとき R₃ の両端に電圧がないので、その電流は 0 です。
答え: Vth = 2 V
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
答え: IN = 6.116 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。
答え: vR = 7.249 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
答え: t = 1.303 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。
答え: |Z| = 13.94 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
答え: f0 = 103.8 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。
答え: P = 2031 W
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
答え: C = 318.3 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
答え: P = 9.6 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
答え: Cph = 1510 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
答え: a = 12
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
答え: Pcu,fl = 896.5 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
答え: Rf = 200 kΩ
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
V₋ = V₊ = Vin で、R₁ の電流は Rf も流れるので Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。
答え: Vout = 1.6 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
kΩ × µF でミリ秒になります。
理想的な値は ±Vsat の内にあるので、積分器はまだクリップしていません。
答え: IZ = 2.329 mA
ツェナーレギュレータ：逆バイアスされたツェナーダイオードは、電流が最小値 IZ,min を上回っている限り、電圧 VZ を保ちます。直列抵抗 R が入力と出力の差を受け持ちます：IR = (Vin − VZ)/R。この電流は負荷 IL = VZ/RL とツェナー IZ = IR − IL に分かれます。最悪の場合を想定して設計します：入力が最低で負荷が最大のときでも IZ,min が残らなければならず、入力が最高で無負荷のときにツェナーの電力 PZ = VZ·IZ が最大になります。
答え: RB = 3.613 kΩ
スイッチとしての BJT：負荷を完全にオンにするには、トランジスタを飽和させます。飽和では VCE = VCE(sat) となり、コレクタ電流は負荷で決まります：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。飽和させるには少なくとも IB = IC(sat)/β が必要です。ベース電流がこれより小さければ、トランジスタは活性領域のままで IC = β·IB です。
これより小さいベース抵抗でもトランジスタは飽和します。実際には数分の 1 の値を選びます。
答え: U = 181
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
答え: R = 143
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。
答え: AB = 11, CD = 00
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。
答え: N = 2
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
1 と X からつくれる最大のグループ。
答え: f(0.5) = 2.165
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
答え: g(0.75) = 0.4226
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
答え: T(0) = 0.5122
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
答え: T(0) = 1.273
ブロック線図の代数：直列のブロックは掛け算（G₁·G₂）、並列のブロックは足し算（G₁ + G₂）になります。前向き経路 G とフィードバック経路 H のループは、負帰還なら T = G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) にまとめられます。内側のループから先に簡単にし、外側へ進みます。閉ループの極は特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0 の根です。ループが安定なら、大きさ A のステップ入力に対する定常出力は A·T(0) です。単位フィードバックでは、ステップに対する定常偏差は Kp = G(0) として A/(1 + Kp) です。
答え: ts = 8 s
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
分母は s² + 2ζωₙs + ωₙ² と一致しなければなりません。
答え: ts = 0.6667 s
ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。
このループでは K によらず ζωₙ = a/2 です：K を大きくするとオーバーシュートは増えますが、整定時間は短くなりません。
答え: |G(jω)| = 20.6 dB
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: K = 81.19
周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。
答え: N = 2
ラウス・フルビッツの安定判別法：線形システムは、特性多項式のすべての根が s 平面の左半平面にあるとき安定です。係数を交互にラウス表の最初の 2 行に書き入れます。新しい行の各要素は、その上の 2 行から求めます。3 次式 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ では、s¹ の要素は b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ です。第 1 列の符号変化の回数は、右半平面にある根の個数に等しくなります。係数にゲイン K が含まれるときは、第 1 列のすべての要素が正でなければなりません。s¹ の要素が 0 になるゲインが安定限界で、そのときの s² の行から持続振動の周波数が求まります。
ゲインが限界 K = 672 を超えているので、複素共役の極が右半平面に移っています。
答え: sb = −0.4226
根軌跡：ゲイン K を 0 から ∞ まで変えると、閉ループ極、すなわち 1 + K·G(s) = 0 の根は、開ループ極から開ループ零点または無限遠へ移動します。実軸上の点は、その右側にある実極と実零点の個数の合計が奇数のとき、軌跡に属します。無限遠へ向かう n − m 本の枝は、重心 σₐ = (極の和 − 零点の和)/(n − m) から出る漸近線に沿い、その角度は (2q + 1)·180°/(n − m) です。枝は dK/ds = 0 となる点で実軸から離れたり、実軸に合流したりします。角度条件 ∠G(s) = 180° が形を決め、大きさの条件 K = 1/|G(s)| が軌跡上の任意の点でのゲインを与えます。
軌跡は 0 と −1 の間の実軸上にあります。もう一方の根は軌跡上にありません。
答え: K = 12
定常偏差：開ループ伝達関数 G(s) をもつ単位フィードバックのループでは、偏差は E(s) = R(s)/(1 + G(s)) で、最終値の定理により ess = lims→0 s·E(s) です。システムの型は、G(s) の s = 0 にある極の個数です。偏差定数は Kp = lim G(s)、Kv = lim s·G(s)、Ka = lim s²·G(s) で、いずれも s → 0 の極限です。大きさ A のステップ入力では ess = A/(1 + Kp)、ランプ入力 A·t では A/Kv、放物線入力 A·t²/2 では A/Ka になります。0 型のループはステップ入力に有限の偏差で追従し、1 型のループはステップ入力に偏差なく追従し、ランプ入力には有限の偏差で追従します。
閉ループの安定性も確認しましょう：この 2 次のループでは、K > 0 ならどんな値でも安定です。
答え: ess = 12.5
P 制御、PI 制御、PID 制御：制御器 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s は偏差に作用します。比例ゲインはループを速くし、0 型の制御対象の偏差を小さくしますが、なくすことはできません。積分項は s = 0 に極を加えます：システムの型が 1 つ上がり、ステップ入力に偏差なく追従します。微分項は減衰を加えます。ゲインを決めるには、閉ループの特性多項式を書き、s² + 2ζωns + ωn² と比較します。すると %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、tp = π/ωd（ωd = ωn√(1 − ζ²)）、ts ≈ 4/(ζωn) となります。
s·C(s) = 5s + 1 → s → 0 のとき 1。
PI 制御器はステップ偏差を完全になくします。ランプ入力には一定の遅れで追従します。
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