水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 1 m 上に保たれ、流量係数は 0.63 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 1 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 500 m、内径 250 mm の管内を平均流速 1.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 1.5 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 78% のポンプが揚程 76 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 76 mη = 78%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 14 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 400 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 3.5 m である。水は水深 1.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 1.8 mn = 0.03S = 0.005

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 200 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 1.857 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·1.5 = 32.45 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.2813/(1.75·1.5) = 1.857 m

答え

y_cp = 1.857 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 1.37 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·4.429 = 0.00137 m³/s = 1.37 L/s

答え

Q = 1.37 L/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 42.44 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 58.86 = 42.44 kPa

答え

p_C = 42.44 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 5.734 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.5²/(2·9.81) = 0.1147 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.25)·1.5²/(2·9.81) = 5.734 m

答え

h_f = 5.734 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 3.374 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.3 = 10

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 10 + 3.7)·0.2295 = 3.374 m

答え

H = 3.374 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 9.558 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·76 = 7.456 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 7.456/0.78 = 9.558 kW

答え

P_shaft = 9.558 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 63.37 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0.3305 = 8.593 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 40.77 + 8.593 = 63.37 m

答え

H = 63.37 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 13.71 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3.5·1.8 = 6.3 m²

P = b + 2y = 3.5 + 2·1.8 = 7.1 m

R = A/P = 0.8873 m

速度

V = (1/0.03)·0.8873^2/3·0.005^1/2 = 2.176 m/s

流量

Q = A·V = 6.3·2.176 = 13.71 m³/s

答え

Q = 13.71 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003303 m/m

径深

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303

答え

S = 0.003303

これは 1 km あたり 3.303 m の落差です。

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